Решите дифференциальное уравнение: \((y+2x+1)dx - (2y+4x-3)dy = 0\)

Показать решение

Решите дифференциальное уравнение: \((e^y + 2xy + x)dy + (y^2 + y + x^2)dx = 0\)

Показать решение

Исследовать на сходимость: \( \sum\limits_{n=1}^\infty \left( \dfrac{n-1}{2n-1} \right)^n \)

Показать решение

Исследовать на сходимость: \( \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n\cdot \ln^2 n} \)

Показать решение

Исследовать на сходимость ряд: \(1 + \dfrac{3}{2\cdot3} + \dfrac{3^2}{2^{2} \cdot 5} + \dfrac{3^3}{2^{3} \cdot 7} + ...\)

Показать решение

Исследовать на сходимость ряд:
\[\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\sin \frac{\pi}{n}} \]

Показать решение

Исследовать на сходимость ряд:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{5}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n^{2}} \]

Показать решение

Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=3}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{n^2}{2^n}.\)

Показать решение

Решить уравнение, допускающее понижение порядка: \(y^{\prime \prime \prime} = \cos^2 x\).

Показать решение

Решить линейное уравнение методом вариации постоянных: \(y^{\prime \prime} - y = e^{x} \cdot (e^{x} - 1)^{-1}\)

Показать решение

Решить линейное неоднородное уравнение: \(y^{\prime \prime} + y = 4 \sin x + e^{-x} \)

Показать решение

Дан куб \(ABCDA^{′}B^{′}C^{′}D^{′}\) с основанием \(ABCD\) и боковыми рёбрами \(AA^{′}, BB^{′}, CC^{′}, DD^{′}.\) Найдите объём многогранника с вершинами, являющимися серединами рёбер \(AB, AD, AA^{′}, CC^{′}, C^{′}B^{′}, C^{′}D^{′},\) если известно, что ребро куба равно 1.

Показать решение

Решить системы уравнений: \( \left\{\begin{array}\\ x^{\prime} = x - y + z \\ y^{\prime} = x + y - z \\ z^{\prime} = 2z - y \end{array}\right..\)

Показать решение

Решите уравнение \(\mathop{\mathrm{tg}}x \mathop{\mathrm{tg}}2x + 3=0\).

Показать решение

Решите неравенство \((2\log_2 ^2 x - \log_2 x^2 + 1)^{x^2-2x}\leqslant 1\).

Показать решение

Середины сторон выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) лежат на окружности. Известно, что \(AB=1\), \(BC=4\), \(CD=8\). Найдите \(AD\).

Показать решение

Найдите наименьшее целое число большее, чем \(\frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}\).

Показать решение

Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии в два раза больше суммы первых десяти членов. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что её пятый член равен 7.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(x^2+(1-a+\sqrt[4]{|x|})^2=\dfrac{a^2}{4}\) имеет ровно три решения.

Показать решение

Объём треугольной призмы \(ABCA'B'C'\) с основанием \(ABC\) и боковыми рёбрами \(AA', BB', CC'\) равен 72. Найдите объём тетраэдра \(DEFG\), где \(D\) \(-\) центр грани \(ABB'A', E\) \(-\) точка пересечения медиан треугольника \(A'B'C', F\) \(-\) середина ребра \(AC\) и \(G\) \(-\) середина ребра \(BC.\)

Показать решение

На сторонах угла в \(60^\circ\) расположены отрезки \(AB\) и \(CD\), причем отрезки \(AC\) и \(BD\) не пересекаются. Найдите расстояние между серединами отрезков \(AC\) и \(BD\), если \(AB=7\), \(CD=8\).

Показать решение

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны \(a\) и \(b\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Показать решение

В четырехугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AO = OD\), а стороны \(AB\), \(BC\) и \(CD\) равны. Найдите угол \(AOD\), если его сторона \(AD\) не параллельна стороне \(BC\).

Показать решение

В выпуклом шестиугольнике провели шесть диагоналей так, как показано на рисунке. Докажите, что середины этих диагоналей образуют шестиугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади исходного шестиугольника.

Показать решение

Три окружности имеют разные радиусы и лежат вне друг друга. Докажите, что три точки пересечения общих внешних касательных к парам этих окружностей лежат на одной прямой (см. рис.).

Показать решение

Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Точки \(P, Q, R, T\) – центры окружностей, вписанных в треугольники \(ABD, ABC, BCD, CDA\) соответственно. Вычислите площадь четырёхугольника \(PQRT\), если известно, что \(𝐴𝐶=4\sqrt{5},𝐴𝐵=2\sqrt{5}\), а одна из сторон четырёхугольника \(PQRT\) равна \(10−4\sqrt{5}\).

Показать решение

Две пересекающиеся хорды делят круг на четыре части. Площади двух из них, не имеющих общего отрезка, равны. Докажите, что сами хорды равны (см. рис.).

Показать решение

Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии.

Показать решение

В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с вершиной \(S\) точки \(M\) и \(N\) --- середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) и пересекает ребра \(AS\) и \(CS\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых \(MP\) и \(KN\) лежит на высоте пирамиды \(SABC\).

Показать решение

Найдите наименьшее целое число, большее, чем \(2\sqrt{3}+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}.\)

Показать решение

Положительные числа \(a, b, c\) образуют непостоянную геометрическую прогрессию. Числа \(a, 4b, 7c\) образуют арифметическую прогрессию. Найти отношение \(\Large{\frac{a}{c}}.\)

Показать решение

Решите уравнение \(\,{ \dfrac{\sqrt{2}}{\sin{x}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\cos{x}}=\dfrac{1}{\sin^2{x}}+\dfrac{1}{\cos^2{x}}}\).

Показать решение

Решите неравенство \(\log_{\sqrt{x}}\left|\dfrac{3x}{x-4}\right|\leqslant 4.\)

Показать решение

Найти все тройки действительных чисел \(x, y, z\) из интервала \((0, \pi/2)\), удовлетворяющих системе
\[\left\{\begin{array}{l}
\sin{x}=\sin{y}\ -\sin{z}\cos(x+z), \\
\cos{x}=\cos{z}+\cos y\cos(x+y).
\end{array}\right.\]

Показать решение

В трапеции \(ABCD\) основание \(AB\) в два раза больше основания \(CD.\) Отрезки \(AL,\; BM\) и \(DK\), где \(K,\; L,\; M\) — соответственно середины сторон \(AB,\; BC,\; AD,\) ограничивают треугольник площади 1. Найдите площадь трапеции.

Показать решение

Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причём точка \(O1\) лежит на \(\omega_2.\) На окружности \(\omega_1\) выбрана произвольная точка \(P.\) Прямые \(BP\), \(AP\) и \(O_1O_2\) вторично пересекают \(\omega_2\) в точках \(X, Y\) и \(C\) соответственно. Докажите, что четырёхугольник \(XPYC\) является параллелограммом.

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\left( \frac{2\sqrt{2}}{27} \right)^\frac{2}{3}+\left( \frac{27}{2\sqrt{2}}\right)^\frac{2}{3}-\frac{13}{18}\).

Показать решение

Сумма второго и восьмого членов возрастающей геометрической прогрессии равна \(9\sqrt{2}.\) Произведение четвёртого, пятого и шестого членов этой прогрессии равна 64. Найдите разность между девятым и первым членами этой прогрессии.

Показать решение

Решите уравнение \( \sin^4{x}+\sin\left( x+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left( x-\frac{\pi}{3}\right)=0 \)

Показать решение

Определите, какое из двух чисел больше: \(\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}\) или \(3\).

Показать решение

Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца \(\begin{vmatrix}
a& 1& a\\
-1& a& 1\\
a& -1& a\\
\end{vmatrix}.\)

Показать решение

Вычислите определитель \(A_{2 \times 2} =
\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & 6
\end{pmatrix}.\)

Показать решение

Вычислить определитель \(\begin{vmatrix}
\sin{\alpha}& \cos{\alpha}\\
-\cos{\alpha}& \sin{\alpha}\\
\end{vmatrix}.\)

Показать решение

Вычислите определитель \(A_{2 \times 2} =
\begin{pmatrix}
\sin^2{\alpha} & \cos^2{\alpha}\\
\sin^2{\beta} & \cos^2{\beta}
\end{pmatrix} .\)

Показать решение

Вычислите определитель, разложив его по элементам первого столбца \(A_{3 \times 3} =
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4\\
5 & -2 & 1\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}.\)

Показать решение

Вычислите определитель матрицы, разложив его по элементам того ряда, который содержит наибольшее число нулей \(\, \begin{pmatrix}
1 & b & 1\\
0 & b & 0\\
b & 0 & -b
\end{pmatrix}.\)

Показать решение

Упростить и вычислить определитель \(A_{3 \times 3} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5\\
3 & -4 & 7\\
-3 & 12 & -15
\end{pmatrix}.\)

Показать решение

Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
2x&-&4y&+&3z&=&1\\
x&-&2y&+&4z&=&3\\
3x&-&y&+&5z&=&2\\
\end{array}\right..\)

Показать решение

Упростить и вычислить определитель \(\begin{vmatrix}
x^2& x& 1\\
y^2& y& 1\\
z^2& z& 1\\
\end{vmatrix}.\)

Показать решение

Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
5x & + & 2y & = & 4,\\
7x & + & 4y & = & 8.\\
\end{array}\right.\)

Показать решение

Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
3x & + & 2y & = & 7,\\
4x & - & 5y & = & 40.\\
\end{array}\right.\)

Показать решение

Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcrrcrc}
2x & - & 3y & + & z & - & 2 & = & 0,\\
x & + & 5y & - & 4z & + & 5 & = & 0,\\
4x & + & y & - & 3z & + & 4 & = & 0.\\
\end{array}\right.\)

Показать решение

Решить систему уравнений\(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
3x&+&2y&-&z&=&0\\
2x&-&y&+&3z&=&0\\
x&+&3y&-&4z&=&0\\
\end{array}\right..\)

Показать решение

Дан параллелепипед \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) с основанием \(ABCD\) и боковыми рёбрами \(AA_1,\) \(BB_1,\) \(CC_1,\) \(DD_1.\) Найдите отношение, в котором делит его объём плоскость, проходящая через вершину \(A,\) середину ребра \(BC\) и середину ребра \(C_1 D_1.\)

Показать решение

Найдите в явном виде число, заданное выражением \(\sqrt{11}\cdot\left(\dfrac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}+\dfrac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}\right)\).

Показать решение

Сумма первых трёх членов \(\href{https://examp.info/onedef/geometricheskaya-progressiya/}{\text{геометрической прогрессии}}\) в два раза больше разности между первым и четвёртым её членами. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что сумма первых семи её членов равна 127.

Показать решение

Решите уравнение \(\sin x +\sin 2x =\cos x +\cos 2x \).

Показать решение

Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcrrcrc}
3x & + & 2y & - & z & = & 0\\
2x & - & y & + & 3z & = & 0\\
x & + & y & - & z & = & 0\\
\end{array}\right. .\)

Показать решение

Решите неравенство \(x^{\log_{2}\sqrt{x}}\geqslant\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).

Показать решение

Решить систему линейных уравнений:
\(\begin{cases}
x+2y+3z = 5, \\
x+2y+z=3, \\
-2x+y+z=-2 \\
\end{cases}
\)

Показать решение

Даны точки \(A(1; 2; 3)\) и \(B(3; -4; 6)\). Найти проекции вектора \(\overrightarrow{AB}\) на оси координат и определить длину и направление вектора.

Показать решение

Найти объём пирамиды \(ABCD\), где \(A(-2;2;1)\), \(B(-1;1;-2)\), \(C(1;2;-3)\), \(D(0;-2;3)\). Вычислить объем этой пирамиды и длину её высоты \(DE\).

Показать решение

Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек \(A(2;2)\) и \(B(4;0)\). Найти это расстояние.

Показать решение

Определить и построить вектор \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\), если:
\( 1) \, \vec{a}=3\vec{i}, \quad \vec{b}=2\vec{k};\)
\( 2) \, \vec{a} = \vec{i} + \vec{j}, \quad \vec{b} = \vec{i} - \vec{j};\)
\(3) \, \vec{a} = \vec{i}+\vec{j}, \quad \vec{b} = 3\vec{j}+2\vec{k}\).
Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}.\)

Показать решение

Вычислить площадь треугольника с вершинами \(A(7; 3; 4)\), \(B(1; 0; 6)\) и \(C(4; 5; -2)\).

Показать решение

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) составляют угол 45\(^{\circ}.\)
Найти площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}-2\vec{b}\) и \( 3\vec{a} + 2\vec{b} \), если \( |\vec{a}|=|\vec{b}|=5 \)

Показать решение

Даны точки \(А (a; 0; 0), B (0; 0; 2a)\) и \(C (a; 0; a).\) Построить векторы \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow {AB}\) и найти угол между ними.

Показать решение

Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах\(\vec{a} =2\vec{i} +\vec{j}\) и \(\vec{b} = -2\vec{j} + \vec{k}\)

Показать решение

Даны компланарные векторы \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), причем a=3, b=2, c=5, \( \widehat{(\vec{a},\vec{b})} = 60^\circ , \quad \widehat{(\vec{b},\vec{c})} = 60^\circ\)
Построить вектор \( \vec{u} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) и вычислить его модуль по формуле \(|\vec{u}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})^2}
\)

Показать решение

Даны точки А(2; 2; 0) и B(0; -2; 5).}
Построить вектор \(\vec{AB} = \vec{u}\) и определить его длину и направление.

Показать решение

Найдите все возможные значения произведения \(x \cdot y\), если известно, что \(x, y \in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) и справедливо
\[\dfrac{1\ -\sin (x\ -y)}{1\ -\cos (x\ -y)}=\dfrac{1\ -\sin (x+y)}{1\ -\cos (x+y)}.\]

Показать решение

Правильный пятиугольник вписан в окружность радиуса \(1\). Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин пятиугольника постоянна, и найдите эту сумму.

Показать решение

На диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. При этом \(AM=MB\) и \(CN=2NB\). Найдите тангенс острого угла параллелограмма \(ABCD.\)

Показать решение

В пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом \(\alpha\) и стороной \(\sqrt{6}\), вписана сфера диаметра \(1\). Найдите угол \(\alpha\), если известно, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом \(60^\circ.\)

Показать решение

Какое целое число задаётся выражением: \(\dfrac{11}{5}+\dfrac{30}{17}+\dfrac{3}{85}\)?

Показать решение

Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1; -2; 3), B(3;2; 1) и C(6; 4; 4).
Найти его четвертую вершину D.

Указание: из равенства \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) следует, что равны их координаты: x - 1 = 6 - 3 и т.д.

Показать решение

Вектор составляет с осями Oy и Oz углы \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
Какой угол он составляет с осью Ox?

Показать решение

Построить плоскости:
1) 2x + y - z + 6 = 0;
2) x - y - z = 0;
3) y - 2z + 8 = 0;
4) 2x - 5 = 0;
5) x + z = 1;
6) y + z = 0

Показать решение

Сторона квадрата равна \(1\). На вписанной в него окружности взяли произвольную точку. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин квадрата постоянна, и найдите эту сумму.

Показать решение

Какое из чисел больше:

\(A=\dfrac{3}{(1\cdot2)^2}+\dfrac{5}{(2\cdot3)^2}+...+\dfrac{87}{(43\cdot44)^2}+\dfrac{89}{(44\cdot45)^2}\) или \(B=\dfrac{\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{3}+1}}{\sqrt[3]{2}}\).

Показать решение

Загадано 2022---значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двухзначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?

Показать решение

Есть функция \(f(x)= \dfrac{1}{\sqrt[5]{1-x^5}}\). Вычислите \(f(...f(2022)...)\), где функция \(f\) применяется 1303 раза.

Показать решение

Какое из чисел больше: \(\dfrac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4,2}\) или \(\dfrac{3,8}{\sqrt{19}+\sqrt{3}}\)?

Показать решение

При каких значениях параметра \(a\in \mathbb{R}\) наибольшее расстояние между корнями уравнения \[a\mathop{\mathrm{tg^3}} x + (2-a-a^2)\mathop{\mathrm{tg^2}} x +(a^2-2a-2)\mathop{\mathrm{tg}} x+2a=0,\] принадлежащими интервалу \(\left( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\), принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.

Показать решение

Решите уравнение: \(\sqrt{x^2+12}=8-x^2\).

Показать решение

Найдите \(f(3)\), если известно, что \(f(x)=\dfrac{\sqrt{(5\ -x)(5+x)}}{5}+\dfrac{5}{x}\).

Показать решение

Найдите модуль разности корней уравнения \(x^2+2021x\ -2022=0.\)

Показать решение

Решите уравнение \(\text{tg}\left(x\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\text{tg}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1.\)

Показать решение

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(E\). Найдите \(BD\), если \(AB=BC=\sqrt{3}\) и \(BE=1\).

Показать решение

Решите неравенство \(\log_{x+4} 2 \leqslant \log_{x^2-2}2\).

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых наименьшее значение выражения
\[\sqrt{x+4a^2\ -1\ -4a\sqrt{x\ -1}}+\sqrt{x+a^2+2a\ -2(a+1)\sqrt{x\ -1}}\]
достигается ровно в одной точке.

Показать решение

На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) правильной треугольной призмы с основаниями \(ABC\) и \(A_1 B_1 C_1\) отмечены точки \(D\) и \(E\) так, что \(AD:DA_1 =B_1 E:EB=1:2.\) Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(DEC\), если известно, что данная призма является «каркасной», то есть существует сфера, касающаяся всех её рёбер.

Показать решение

Если действительные числа \(a, b, c \) упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку \(x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3\), то число \(x_2\) будем называть средним из чисел \(a, b, c\). Найдите все значения \(t\), при каждом из которых среднее из трех чисел \[a=t^3 - 100t;\qquad b=2^t - 16; \qquad c=\sin t - \dfrac{1}{2}\] положительно.

Показать решение

Решите уравнение: \(6\sin^2{x}-2\sin^2{2x}=3\).

Показать решение

Определите, какое из двух чисел больше: \(\sqrt{3}^{15}\) или \(9^{\sqrt{14}}\).

Показать решение

Числа \(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{30}\) образуют \(\href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметическую прогресию}}\). Известно, что \(a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{30}=45\) и что \(a_{3}+a_{6}+a_{9}+...+a_{30}=100.\) Найдите разность этой прогресии.

Показать решение

Решите уравнение \(\mathop{\mathrm{tg}} x = 4 \sin x -\sqrt{3}\).

Показать решение

Решите неравенство \(\log _{\left(x\right)} \left(x^2 + \dfrac{3}{2}\right)\leqslant 4\log _{\left(x^2 + \frac{3}{2}\right)} x\).

Показать решение

Окружность, проходящая через вершину \(A\) треугольника \(ABC\) касается его стороны \(BC\) в точке \(D\) и пересекает стороны \(AC\) и \(AB\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Известно, что \(AF = 3BF, BD = CD, AE=2CE\) и что \(ED = \sqrt{\mathstrut 10}\). Найдите \(BC\).

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\) из интервала \(\left(0,1\right)\), при которых для каждого \(x\) из интервала \(\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\) существует не более одного значения \(y\) в интервале \(\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\), такого что
\begin{equation*}
\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} x \mathop{\mathrm{tg}} y}{\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)}=\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} \left(x+y\right) - \mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)}{1+ \mathop{\mathrm{tg}} \left(x+y\right) \mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)}
\end{equation*}

Показать решение