Упростить и вычислить определитель \(A_{3 \times 3} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5\\
3 & -4 & 7\\
-3 & 12 & -15
\end{pmatrix}.\)

Решение

Упростим, прибавим ко второй строке первую умноженную на \(-3 ~~~ A_{3 \times 3} =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5\\
3 + (-3) & -4 + (-6) & 7 + (-15)\\
-3 & 12 & -15
\end{vmatrix},\)

прибавим ко третьей строке первую умноженную на \(3 ~~~ A_{3 \times 3} =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5\\
0 & -10 & -8\\
-3 + 3 & 12 + 6 & -15 + 15
\end{vmatrix}, \text{получим } A_{3 \times 3} =\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5\\
0 & -10 & -8\\
0 & 18 & 0
\end{vmatrix}. \)

Вычислим \(|A| =\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5\\
0 & -10 & -8\\
0 & 18 & 0
\end{vmatrix} = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
-10 & -8\\
18 & 0\\
\end{vmatrix} - 0 \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 5\\
18 & 0\\
\end{vmatrix} + 0 \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 5\\
-10 & -8\\
\end{vmatrix} =\)

\(1 \cdot (-10 \cdot 0 - 18 \cdot (-8)) - 0 \cdot ( 2 \cdot 0 - 18 \cdot 5) + 0 \cdot (2 \cdot (-8) - (-10) \cdot 5 = 144.\)

Ответ: 144.