Если действительные числа \(a, b, c \) упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку \(x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3\), то число \(x_2\) будем называть средним из чисел \(a, b, c\). Найдите все значения \(t\), при каждом из которых среднее из трех чисел \[a=t^3 - 100t;\qquad b=2^t - 16; \qquad c=\sin t - \dfrac{1}{2}\] положительно.

Решение

<p>Среднее из трех чисел положительно тогда и только тогда, когда по крайней мере два числа из трех положительны. Найдем промежутки знакопостоянства \(a, b, c\).</p>
<p>\(a=t^3-100t=t(t+10)(t-10) > 0 \) при \(t \in (-10; 0)\cup(10; +\infty)\).</p>
<p>\(b= 2^t - 16 > 0\) при \(t > 4\).</p>
<p>\(c= \sin t - \dfrac{1}{2} > 0\) при \(t \in \left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n;\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\right)\), где \(n\in \mathbb{Z}\).</p>
<p>Необходимо, чтобы хотя бы два из трех чисел были больше нуля.</p>
<p>\(a>0, b>0\) при \(t> 10\). В дальнейших рассуждениях этот промежуток не рассматриваем.</p>
<p>\(a>0, c> 0\). Промежуток \(\left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n;\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\right)\) пересекает множество \((-10; 0)\) при \(n= -1, -2\), так как \(\dfrac{\pi}{6} - 4\pi < - 10 < \dfrac{5\pi}{6} - 4\pi \) и \(\dfrac{5\pi}{6} - 2\pi < 0\). В результате, получаем область \(\left(-10;\dfrac{5\pi}{6} - 4\pi \right)\cup \left(\dfrac{\pi}{6} - 2\pi;\dfrac{5\pi}{6} - 2\pi \right)\).</p>
<p>Аналогично, \(b>0, c> 0\). Промежуток \(\left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n;\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\right)\) пересекает множество \((4; 10)\) только при \(n= 1\), так как \(4<\dfrac{\pi}{6} + 2\pi < \dfrac{5\pi}{6} +2\pi < 10\). \(n = 0, 2\) не подходит, так как \(\dfrac{5\pi}{6} < 4\) при \(n= 0\), а \(\dfrac{\pi}{6} + 4\pi > 10\) при \(n= 2\). В результате, получаем область \(\left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi;\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi\right)\).</p>
<p>Таким образом, среднее из \(a, b, c\) положительно при \(t \in(-10;\frac{5\pi}{6} - 4\pi n)\cup(\frac{\pi}{6} - 2\pi;\frac{5\pi}{6} - 2\pi)\cup(\frac{\pi}{6} + 2\pi;\frac{5\pi}{6} + 2\pi)\cup(10; +\infty)\).</p>

Ответ: \(t \in(-10;\frac{5\pi}{6} - 4\pi)\cup(\frac{\pi}{6} - 2\pi;\frac{5\pi}{6} - 2\pi)\cup(\frac{\pi}{6} + 2\pi;\frac{5\pi}{6} + 2\pi)\cup(10; +\infty)\).