Основание \(ABCD\) прямоугольного \(\href{https://examp.info/onedef/parallelepiped/}{\text{параллелепипеда}}\) \(ABCDA^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}D^{\prime}\) с боковыми рёбрами \(AA^{\prime} , BB^{\prime} , CC^{\prime} , DD^{\prime}\) является квадратом со стороной \(\sqrt{\mathstrut 2}\). Известно, что \(AE\perp D^{\prime}F \), где \(E\) \(-\) центр грани \(BCC^{\prime}B^{\prime} , F\) \(-\) центр квадрата \(ABCD\). Найдите расстояние между серединами отрезков \(AE\) и \(D^{\prime} F\).

Показать решение

Угол при вершине в осевом сечении конуса равен \(60^\circ\). Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.

Показать решение

Высота \(BD\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекается с его другими высотами в точке \(H\). Точка \(K\) лежит на отрезке \(AC\) так, что величина угла \(BKH\) максимальна. Найдите \(DK\), если \(AD=2,\,DC=3\).

Показать решение

В треугольнике \(ABC: \angle ACB=90^{\circ}; K \in AB\) (точка \(K\) лежит на \(AB\)), \(M \in AC\), \(N \in BC\), \(KM \bot AC\), \(KN \bot BC\), \(KM=KN\), \(AC=5\), \(BC=7\). Найдите длину \(KC\).

Показать решение

Решите систему уравнений:
\begin{equation*}
\begin{cases}
2xy-5x+5y+10=0,\\
x^2y-xy^2=20.
\end{cases}
\end{equation*}

Показать решение

Решите неравенство: \(x^2+ \sin^2x +x^2 \cos x \leqslant 0\).

Показать решение

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \(\sqrt{2019\cdot 2029-2016\cdot 2032}\).

Показать решение

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \(\sqrt{2019\cdot 2031-2017\cdot 2033}\).

Показать решение

Найдите \(a+b+c\), если известно, что \(a+2b=3\), \(b+2c=4\), \(c+2a=5\).

Показать решение

Найдите \(a+b+c\), если известно, что \(a+3b=2\), \(b+3c=4\), \(c+3a=6\).

Показать решение

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \(\sqrt{2019\cdot 2009-2007\cdot 2021}.\)

Показать решение

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \(\sqrt{2019\cdot 2007-2006\cdot 2020}\).

Показать решение

Найдите \(a+b+c,\) если известно, что \(a+2b=4,\) \(b+2c=5,\) \(c+2a=6.\)

Показать решение

Найдите \(a+b+c,\) если известно, что \(a+3b=1\), \(b+3c=2\), \(c+3a=5\).

Показать решение

Решите уравнение \(7 \sin x +2 \cos 2x =5\).

Показать решение

Решите уравнение \(5 \sin x +3 \cos 2x =4\).

Показать решение

Решите уравнение \(7 \sin x +4 \cos 2x =3\).

Показать решение

Решите уравнение \(5 \sin x +7 \cos 2x =6\).

Показать решение

Решите неравенство \(2^{\log^2 _{2} x}+7 x^{\log _{2} x}<16\)

Показать решение

Решите неравенство \(3^{\log^2 _{3} x}+5 x^{\log _{3} x} <18.\)

Показать решение

Решите неравенство \(7^{\log^2 _{7} x}+2 x^{\log _{7} x}<21\).

Показать решение

Решите неравенство \(5^{\log^2 _{5} x}+3 x^{\log _{5} x} < 20\).

Показать решение

На гипотенузе \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) таким образом, что \(AD:DB=BE:EA=1:4\). Найдите \(AB\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(18\), а тангенс угла \(\angle DCE\) равен \(\frac{5}{3}\).

Показать решение

На гипотенузе \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) таким образом, что \(AD:DB=BE:EA=1:5\). Найдите \(AB\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(30\), а тангенс угла \(\angle DCE\) равен \(2\).

Показать решение

На гипотенузе \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) таким образом, что \(AD:DB=BE:EA=1:6\). Найдите \(AB\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(42\), а тангенс угла \(\angle DCE\) равен \(\frac{5}{2}\).

Показать решение

На гипотенузе \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) таким образом, что \(AD:DB=BE:EA=1:7\). Найдите \(AB\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(56\), а тангенс угла \(\angle DCE\) равен \(3\).

Показать решение

Найдите все пары вещественных чисел \((a, b)\), при которых неравенство
\begin{equation*}
2a(x+2)^4+9b(x-2)^4 \geqslant x^4+24x^2+16
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x\).

Показать решение

Найдите все пары вещественных чисел \((a, b)\), при которых неравенство
\begin{equation*}
3a(x+3)^4+8b(x-3)^4 \geqslant x^4+54x^2+81
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x\).

Показать решение

Найдите все пары вещественных чисел \((a, b),\) при которых неравенство
\begin{equation*}
4a(x+2)^4+7b(x-2)^4 \leqslant x^4+24x^2+16
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x.\)

Показать решение

Найдите все пары вещественных чисел \((a, b)\), при которых неравенство
\begin{equation*}
5a(x+3)^4+6b(x-3)^4 \leqslant x^4+54x^2+81
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x\).

Показать решение

Плоскость \(\pi\) проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости \(\pi\). Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны \(1,\) \(\sqrt{2}\), \(2\).

Показать решение

Плоскость \(\pi\) проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости \(\pi\). Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны \(1\), \(2\), \(4\).

Показать решение

Плоскость \(\pi\) проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описано около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости \(\pi\). Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны \(1,\) \(\sqrt{3}\), \(3\).

Показать решение

Плоскость \(\pi\) проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанно около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости \(\pi\). Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны \(1\), \(\sqrt{5}\), \(5\).

Показать решение

Найдите все \(x\), \(y\) из интервала \((-\pi, \pi]\), удовлетворяющие системе уравнений
\[\left\{\begin{array}{l}
10 \sqrt{6} \sin x +5 \sin y +4 \sqrt{3} \sin \frac{x+y}{2} = 6 \sqrt{6}, \\
5 \sin x \sin y + 4 \sqrt{3} \sin x \sin \frac{x+y}{2}+ \sqrt{2} \sin y \sin \frac{x+y}{2} = \dfrac{6 \sqrt{6}}{5}.
\end{array}\right.\]

Показать решение

Найдите все \(x\), \(y\) из интервала \((-\pi, \pi]\), удовлетворяющие системе уравнений
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
28 \sqrt{3} \cos x +7 \cos y +4 \sqrt{6} \cos \frac{x+y}{2} = 12 \sqrt{3}, \\
7 \cos x \cos y + 4 \sqrt{6} \cos x \cos \frac{x+y}{2}+ \sqrt{2} \cos y \cos \frac{x+y}{2} = \dfrac{12 \sqrt{3}}{7}.
\end{array} \right.
\end{equation*}

Показать решение

Найдите все \(x\), \(y\) из интервала \((-\pi, \pi]\), удовлетворяющие системе уравнений
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array} {l}
24 \sqrt{7} \sin x +8 \sin y +3 \sqrt{14} \sin \frac{x+y}{2} = 9 \sqrt{7} ,
\\
8 \sin x \sin y + 3 \sqrt{14} \sin x \sin \frac{x+y}{2}+ \sqrt{2} \sin y \sin \frac{x+y}{2} = \dfrac{9 \sqrt{7}}{8}.
\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Показать решение

Найдите все \(x\), \(y\) из интервала \((-\pi, \pi]\), удовлетворяющие системе уравнений

\(\left\{\begin{array}{l}
36 \sqrt{5} \cos x +9 \cos y +4 \sqrt{10} \cos \frac{x+y}{2} = 12 \sqrt{5}, \\
9 \cos x \cos y + 4 \sqrt{10} \cos x \cos \frac{x+y}{2}+ \sqrt{2} \cos y \cos \frac{x+y}{2} = \dfrac{4 \sqrt{5}}{3}.
\end{array}\right.\)

Показать решение

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 6, 7, 8, 9, 10, ...,
если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить
числа \(8=2^3\), \(9 = 3^2\), \(16 = 4^2\), ...)?

Показать решение

Решите неравенство \[(8x^3+4x^2-18x-9)\cdot\arccos(x-1) \leqslant \arccos(\dfrac{1}{4\cos 40^\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{4\cos 50^\circ}).\]

Показать решение

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник \(ABCD\) с наименьшим периметром, в котором \(AB=BC=CD\) и все попарные расстояния между точками \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг \(ABCD\) окружности?

Показать решение

Последовательность \(a_n\) задана формулами \(a_1=\dfrac{4043}{2022}\), \(a_{n+1} = a_n^3 - 3a_n^2+3a_n\). Найдется ли натуральное число n такое, что \(|a_n| \leqslant \dfrac{2022}{2021}\)? Обоснуйте свой ответ.

Показать решение

В треугольной пирамиде \(SABC\) в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AC\). Боковые грани \(SAB\) и \(SAC\) перпендикулярны плоскости \(ABC\). Сфера радиусом, равным \(AC\), с центром в точке \(S\) делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если \(SA = AB = 2\).

Показать решение

Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства \[|x^3+2x^2+x+a|+|x^3-2x^2+x-a| < 4x^2+8x\] представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.

Показать решение

В выражении \[A=81^{0{,}5*\log_9 7}\]
на месте знака \(*\) может стоять любой из знаков четырёх арифметических действий \(+, -, :, \times \).
Найдите отношение наибольшего возможного значения A к наименьшему, при необходимости
округлив ответ до сотых.

Показать решение

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) расположены в указанном порядке на окружности таким образом,
что длины дуг \(AD\) и \(CD\) равны 4, отношение длин дуг \(AB\) и \(BC\) равно \(3/7\), а также равны
длины отрезков \(AD\) и \(CL\), где \(L\) – точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\). Найдите длину дуги
\(AB\).

Показать решение

Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \(xyz+xy+xz+yz+2023\), если сумма неотрицательных чисел \(x\), \(y\), \(z\) равна 2022.

Показать решение

Монета искривлена так, что вероятность выпадения ровно 3-х орлов в серии из 5-ти бросков равна вероятности выпадения ровно 2-х орлов в серии из 4-х бросков. Найдите вероятность того, что в серии из 6-ти бросков выпадет не менее 3-х орлов. Если необходимо, ответ округлите до сотых.

Показать решение

Найдите максимальное значение функции \(f(x) = \sin^4 x + 2 \cos^3 x\) на отрезке\( \left[\arccos \dfrac{3}{4}; \arccos \left(-\dfrac{1}{4}\right)\right]\). При необходимости округлите ответ до сотых.

Показать решение

Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней этого куба равно 8.

Показать решение

Фабрика производит \(n > 15 000\) ёлочных игрушек в месяц и является убыточной. Известно, что при изготовлении \(n\) ёлочных игрушек в месяц расходы фабрики на производство одной игрушки составляют не менее \(\dfrac{126000}{n}+9-\left|3-\dfrac{54000}{n}\right|\) рублей, а цена реализации каждой игрушки при этом не превосходит \(18-\dfrac{1}{4000}n\) рублей. Определите ежемесячный объём производства, при котором ежемесячные убытки могут быть снижены до наименьшего из возможных в данных условиях уровня. Вариант полной остановки производства исключён.

Показать решение

Найдите сумму всех целых \(a\), при которых неравенство \[(2-a)4^{\cos 2x}+2(a-5)\dfrac{1}{4^{\sin^2 x}}+1 < 0\]
выполнено для всех значений \(x\).

Показать решение

Решить систему уравнений \(\left\{
\begin{array}{rcrcrrcrc}
3x & + & 2y & - & z & = & 0,\\
2x & - & y & + & 3z & = & 0,\\
x & + & y & - & z & = & 0.\\
\end{array}\right.\)

Показать решение

В параллелограмме \(ABCD\) проведена биссектриса \(\angle BAD\), пересекающая прямую \(BC\)
в точке \(K\). В треугольник \(ABK\) вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружностью сторон \(AB\) и \(BK\), если \(AB = 4\), \(BAD =\dfrac{\pi}{3}\). При необходимости
округлите ответ до двух знаков после запятой.

Показать решение

Решите систему
\begin{equation*}
\begin{cases}
6^{y+1}5^{|2+x-x^2|+1+\log_5 6}=5,\\
3\sqrt{2-y}\leqslant 6-|y+2|.
\end{cases}
\end{equation*}
В ответе укажите минимальное значение, которое может принимать сумма \(x+y\), если \(x\) и \(y\)
являются решениями системы, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

Показать решение

Пусть \(\hat{x}\) — наибольший корень многочлена \(f(x)=x^3-3x^2+1\). Найти остаток от деления целой части числа \(\hat{x}^{2026}\) на 17. Целая часть числа \(a\) — это наибольшее целое число, не превосходящее числа \(a\).

Показать решение

Найдите \(f(2)\), если \(f(x)=\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{10}\).

Показать решение

Решите неравенство \(\log_{\sqrt{6 - x}}{(6 + x)} + \log_{\sqrt{6 + x}}{(6 - x)} \leqslant 5.\)

Показать решение

Окружность, проходящая через вершины \(A, B\) треугольника \(\triangle ABC\) и центр описанной около этого треугольника окружности, пересекает стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Найдите угол \(\angle BCA,\) если известно, что \(AB = \sqrt2, AC = \sqrt3\) и что угол \(\angle BAE\) в два раза больше угла \(\angle ABD.\)

Показать решение

Найдите все значения параметров \(a, b,\) при которых неравенство \[a^3x^4 + 2ax^3 + b \leqslant 2bx^2 + b^3x + a\] выполняется для всех \(x\) из отрезка \([0,1].\)

Показать решение

Дана правильная треугольная пирамида \(ABCS\) с основанием \(ABC\) и вершиной \(S.\) Плоскость \(\pi\) перпендикулярна ребру \(AS\) и пересекает рёбра \(AS, BS\) в точках \(D, E\) соответственно. Известно, что \(SD = AD\) и \(SE = 2BE.\) Найдите косинус угла между ребром \(AS\) и плоскостью основания \(ABC.\)

Показать решение

Вычислить определитель матриц:
\begin{pmatrix}
10 & -3 \\
2 & 7
\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
8 & -3 & 5 \\
13 & 2 & -3 \\
\end{pmatrix}

Показать решение

Определите, какое из двух чисел больше: \(\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}\) или \(3\).

Показать решение

На плоскости нарисовано два вектора \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Нарисовать вектор суммы, разности, \(2\overrightarrow{a}\), и \(-3\overrightarrow{b}\).

Показать решение

Написать уравнение плоскости, если заданы точка \(М=(2,-3,1)\) и вектор нормали \(\vec{n}=(1,2,3)\).

Показать решение

Найти проекцию \(\overrightarrow{a}\) на \(\overrightarrow{b}\), если длины векторов равны 6 и 8 соответственно, а угол между ними равен \(60^0\).

Показать решение

Найти координаты суммы, разности и линейной комбинации (\(2\overrightarrow{a} -3 \overrightarrow{b}\)) векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если \(\overrightarrow{a}=(1,-2,3)\) и \(\overrightarrow{b}=(-3,1,0)\)

Показать решение

Найти длину вектора \(\overrightarrow{a}=(\sqrt{2}-1,-2,2)\)

Показать решение

Найти длину вектора \(\overrightarrow{AB}\), если \(A=(1,-2,0), B=(-3,2,4)\)

Показать решение

Определить, пересекаются (и если пересекаются, то найти прямую пересечения) или параллельны плоскости
\(4x+5y-z+3=0 \quad \text{и}\quad 2x-3y+2z-7=0.\)

Показать решение

Найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если длины их соответственно равны 7 и 5, а угол между ними \(120^0\)

Показать решение

Найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если \(\overrightarrow{a}=(4,-2,3)\) и \(\overrightarrow{b}=(-3,3,3)\)

Показать решение

Найти угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если \(\overrightarrow{a}=(1,-2,2\sqrt5)\) и \(\overrightarrow{b}=(1,-1,1)\).

Показать решение

Определить, пересекаются (и если пересекаются, то найти прямую пересечения) или параллельны плоскости
\(4x+5y-z+3=0\) и \(8x+10y-2z+6=0.\)

Показать решение

Найти угол между двумя плоскостями
\(4x+5y-z+3=0\) и \(2x-3y+2z-7=0.\)

Показать решение

Найти расстояние от точки \(M=(1,-1,0)\) до плоскости \(5x+4y+3z=2.\)

Показать решение

Написать каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку \(M=(-3,1,7)\) с направляющим вектором \(\overrightarrow{a}=(1,2,-3)\).

Показать решение

Найти угол между прямыми на плоскости с направляющими векторами
\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\) и \(\overrightarrow{b}=(-2,5).\)

Показать решение

Найти угол между прямыми в пространстве с направляющими векторами \(\overrightarrow{a}=(1,2,-3)\) и \(\overrightarrow{b}=(-2,5,-3)\)

Показать решение

Найти расстояние от точки \(A=(5,7)\) до прямой \(\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{4}.\)

Показать решение

Найти расстояние от точки \(A=(0,5,7)\) до прямой \(\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z-1}{1}\)

Показать решение

Написать общее, каноническое, параметрическое, с угловым коэффициентом уравнение прямой в плоскости, если заданы точка \(A=(1,2)\) и вектор нормали \(n=(3,4)\)

Показать решение

Написать общее, каноническое, параметрическое, с угловым коэффициентом уравнение прямой в плоскости, если заданы точка \(A=(1,2)\) и направляющий вектор \(q=(3,4)\)

Показать решение

\(\lim\limits_{x\to -\infty} \sqrt{x+x^2}+x\)

Показать решение

Вычислить предел \(\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x^2+1}{(x+1)^2}\)

Показать решение

Вычислить предел \(\lim\limits_{x\to 0-} |x|\)

Показать решение

Вычислить предел \(\lim\limits_{x\to 0+} |x|\)

Показать решение

Вычислить предел \(\lim\limits_{n\to \infty} (1+\dfrac{1}{2n})^n\)

Показать решение

Вычислить предел \(\lim\limits_{x\to \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{5x}\)

Показать решение

Доказать непрерывность функций: \(f(x)=x, f(x)=\sin x\)

Показать решение

Найти уравнение касательной к функции \(f(x)=x^2\) в точке \(x=5\)

Показать решение

Найти уравнение нормали к функции \(f(x)=x^3\) в точке \(x=3\)

Показать решение

Определить, является ли функция \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) бесконечно большой при \(x\rightarrow0\)

Показать решение

Hello examp.info,

We noticed you are only listed in 18 out of a possible 10k+ directories.

You can view your ranking here: https://getlisted.directory/examp.info?id=MTg=

Gift your business this Christmas by submitting your website to 10K+ directories on getlisted.directory.
Get more traffic, leads and sales by having your business rank high on search engines.

Never has it been easier to promote your website.
We&prime;ve automated everything that we possibly could to make submitting your website a breeze.

Visit us on https://getlisted.directory and get submitted 10k+ directories.

We have a festive promotional offer for an All Inclusive, One-Time Fee Of $49!

Показать решение

Решить системы линейных уравнений методом Крамера:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x+5y = -3,\\
4x-3y = 1
\end{cases}
\end{equation*},

\begin{equation*}
\begin{cases}
2x-3y+z-2=0,\\
x+5y-4z+5=0,\\
4x+y-3z+4=0
\end{cases}
\end{equation*}

Показать решение

Найти предел функции: \(\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(e^{2x}-e^x)}{\sin x}\)

Показать решение

Найти предел функции: \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}\)

Показать решение

Найти предел функции: \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{a^x}\)

Показать решение

Найти предел функции: \(\lim\limits_{x\to +0} x\ln x\)

Показать решение

Вычислить n-ую производную для следующих функций:
<p>
\(f(x)=x^\alpha\)
<p>
\(f(x)=sin x\)
<p>
\(f(x)=cos x\)
<p>
\(f(x)=a^x\)
<p>
\(f(x)=(ln(1+x))\).

Показать решение