Найдите все пары вещественных чисел \((a, b)\), при которых неравенство
\begin{equation*}
5a(x+3)^4+6b(x-3)^4 \leqslant x^4+54x^2+81
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x\).

Решение

Заметим, что \((x+3)^4+(x-3)^4=2(x^4+54x^2+81)\). Стало быть, исходное неравенство можно переписать как
\begin{equation*}
(5a-\dfrac{1}{2})(x+3)^4+(6b-\dfrac{1}{2})(x-3)^4 \leqslant 0.
\end{equation*}
Так как неравенство должно выполняться для любых значений \(x\), то и для \(x = \pm 3\). Подставляя \(x=3\) и \(x=-3\) получаем \(5a-\dfrac{1}{2} \leqslant 0\) и \(6b-\dfrac{1}{2} \leqslant 0\). Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех \(x\). Действительно, \((x \pm 3)^4 \geqslant 0 \text{ } \forall x,\) тогда \((5a-\dfrac{1}{2})(x+3)^4 \leqslant 0 \text{ } \forall x\), \((6b-\dfrac{1}{2})(x-3)^4 \leqslant 0 \text{ } \forall x\). Следовательно, искомые значения параметров \(a\) и \(b\) описываются неравенствами \(a \leqslant \dfrac{1}{10}\), \(b \leqslant \dfrac{1}{12}\).

Ответ: \(a \leqslant \dfrac{1}{10}\), \(b \leqslant \dfrac{1}{12}\).