Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник \(ABCD\) с наименьшим периметром, в котором \(AB=BC=CD\) и все попарные расстояния между точками \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг \(ABCD\) окружности?

Решение

Рассмотрим \(\triangle AKB=\triangle CDK\) (см. рис.) по стороне и двум прилежащим углам: \(AB=CD\), \(\angle BAK = \angle CDK\), \(\angle ABK=\angle DCA\), так как соответственные пары углов опираются на равные дуги. \(\triangle BCK \sim \triangle ADK\), так как треугольники равнобедренные и углы при вершинах равны, как вертикальные.

Следовательно, \(\angle BCA=\angle CAD\), поэтому \(BC \parallel AD\), и четырехугольник \(-\) трапеция.

Пусть \(AB=x\), \(AD=y\), \(BD=c\) и высота \(BH =h\). Тогда \(h^2=x^2-\left(\dfrac{y-x}{2}\right)^2\) из треугольника \(\triangle BAH\) и \(c^2=h^2+\left(y-\dfrac{y-x}{2}\right)^2\) из треугольника \(\triangle BHD\). Получим, что \(c^2=x^2-\left(\dfrac{y-x}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{y-x}{2}\right)^2=x^2+yx=x(y+x)\). Также \(3x>y\), так как \(x, y \in \mathbb{N} \), то \(3x-1\geqslant y\).


Если \(x=1\), то \(y \in [1;2]\), и уравнение \(c^2=1(1+y)\) не имеет целых решений.

Если \(x=2\), то \(y \in [1;5]\), и уравнение \(c^2=2(2+y)\) не имеет целых решений.

Если \(x=3\), то \(y \in [1;8]\), и уравнение \(c^2=3(3+y)\) не имеет целых решений.

Если \(x=1\), то \(y \in [1;11]\), и уравнение \(c^2=4(4+y)\) имеет единственное целое решение \(y=5\). Тогда периметр равен \(3x+y =12+5=17\).

Если \(x \geqslant 5\), то минимум периметра не достигается, так как \(3x+y \geqslant 15+y\), и при \(y=1,2\) и \(x=5\) целых решений нет.

Таким образом, \(AB=BC=CD=4\), \(AD=5\), \(BD=6\). \(\sin\angle BAD = \dfrac{BH}{AB}\), где \(BH^2=x^2-\left(\dfrac{y-x}{2}\right)^2 = 4^2-\left(\dfrac{5-4}{2}\right)^2=\dfrac{63}{4}\), отсюда \(\sin\angle BAD =\dfrac{3\sqrt{7}}{8}\). Радиус равен по теореме синусов в треугольнике \(\triangle BOD\) \(\dfrac{R}{\sin(90^\circ - \angle BAD)}= \dfrac{BD}{\sin 2\angle BAD} \Rightarrow R=\dfrac{BD}{2\sin\angle BAD}= \dfrac{6\cdot 8}{3\sqrt{7}}=\dfrac{8}{\sqrt{7}}\).

Ответ: \(\dfrac{8}{\sqrt{7}}\).