Найдите все \(x\), \(y\) из интервала \((-\pi, \pi]\), удовлетворяющие системе уравнений
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array} {l}
24 \sqrt{7} \sin x +8 \sin y +3 \sqrt{14} \sin \frac{x+y}{2} = 9 \sqrt{7} ,
\\
8 \sin x \sin y + 3 \sqrt{14} \sin x \sin \frac{x+y}{2}+ \sqrt{2} \sin y \sin \frac{x+y}{2} = \dfrac{9 \sqrt{7}}{8}.
\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Решение

Введём обозначения \(a=8\sin x,\) \(b=\frac{8}{3\sqrt{7}}\sin y,\) \(c=\sqrt{2}\sin\frac{x+y}{2}.\) Исходная система примет вид \[
\left\{\begin{array}{l}
a+b+c=3,\\
ab+bc+ca=3.
\end{array}\right.
\] Тогда \[2(a+b+c)^2-6(ab+ac+bc)=0.\] Но \[2(a+b+c)^2-6(ab+ac+bc)=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2.\] Следовательно, \(a=b=c=1\). Получаем \[
\sin x=\frac{1}{8}, \quad \sin y=\frac{3\sqrt{7}}{8}, \quad \sin \frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt 2}.
\]Стало быть \[
\left\{\begin{array}{l}
x\in \left\{\arcsin \frac{1}{8},\pi -\arcsin \frac{1}{8}\right\},\\
y\in \left\{\arcsin \frac{3\sqrt{7}}{8}, \pi-\arcsin\frac{3\sqrt{7}}{8}\right\},\\
\frac{x+y}{2}\in \left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}.
\end{array}\right. \]Заметим, что \(\arcsin\frac{3\sqrt{7}}{8}=\arccos\frac{1}{8}.\) Тогда систему можно переписать в виде \[
\left\{\begin{array}{l}
x\in \left\{\arcsin \frac{1}{8},\pi -\arcsin \frac{1}{8}\right\},\\
y\in \left\{\arccos\frac{1}{8}, \pi-\arccos\frac{1}{8}\right\},\\
x+y\in \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}.
\end{array}\right. \] Осталось вспомнить равенство \(\href{https://examp.info/theorem/arksinusa-i-arkkosinusa/}{\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.}\) Получаем ответ \[
(x, y)=\left(\arcsin \frac{1}{8}, \arccos \frac{1}{8}\right), \quad (x, y)=\left(\pi - \arcsin \frac{1}{8}, \pi - \arccos \frac{1}{8}\right).
\] Отметим, что пары \[
(x, y)=\left(\arcsin \frac{1}{8},\pi- \arccos \frac{1}{8}\right), \quad (x, y)=\left(\pi - \arcsin \frac{1}{8}, \arccos \frac{1}{8}\right)
\] не подходят, т.к. \[
\left\{\begin{array}{l}
\arcsin\frac{1}{8}>0,\\
\arccos\frac{1}{8}>0,\\
\arcsin\frac{1}{8}+
\arccos\frac{1}{8}=\frac{\pi}{2},
\end{array}\right. \Rightarrow
\left|\arccos \frac{1}{8}-\arcsin\frac{1}{8}\right|<\frac{\pi}{2}.
\]

Ответ: \begin{equation*} (x, y)=\left(\arcsin \frac{1}{8}, \arccos \frac{1}{8}\right), \quad (x, y)=\left(\pi - \arcsin \frac{1}{8}, \pi - \arccos \frac{1}{8}\right). \end{equation*}.