Решите систему уравнений:
\begin{equation*}
\begin{cases}
2xy-5x+5y+10=0,\\
x^2y-xy^2=20.
\end{cases}
\end{equation*}

Решение

Сделаем замену. Пусть \(xy=a\), \(x-y=b\). Система примет вид:
\begin{gather*}
\begin{cases}
2a-5b+10=0, \\
ab=20. \\
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
a=-5+\frac{5}{2}b,\\
-5b+\frac{5}{2}b^2=20.\\
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
a=-5+\frac{5}{2}b,\\
b^2-2b-8=0.\\
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
b=4, \\
a=5. \\
\end{cases}
\quad
\text{или}
\quad
\begin{cases}
b=-2, \\
a=-10. \\
\end{cases}
\end{gather*}

Из первой системы получим:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=5, \\
y=1. \\
\end{cases}
\quad
\text{и}
\quad
\begin{cases}
x=-1, \\
y=-5. \\
\end{cases}
\end{equation*}

Вторая система приводит нас к уравнению \(y^2-2y+10=0\), которое не имеет решений.

Ответ: \(\quad \begin{cases} x=5, \\ y=1. \\ \end{cases} \quad\) и \(\quad \begin{cases} x=-1, \\ y=-5. \\ \end{cases}\).