В параллелограмме \(ABCD\) проведена биссектриса \(\angle BAD\), пересекающая прямую \(BC\)
в точке \(K\). В треугольник \(ABK\) вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружностью сторон \(AB\) и \(BK\), если \(AB = 4\), \(BAD =\dfrac{\pi}{3}\). При необходимости
округлите ответ до двух знаков после запятой.

Решение

Пусть \(N, L, M\) - точки касания окружности и сторон \(AB\), \(BK\), \(AK\) соответственно. Треугольники \(\triangle NBL\) и \(\triangle ABK\) подобные и равнобедренные, \(BM\) - высота, медиана, биссектриса. Тогда \(AM=AN=AB\cos\frac{\angle BAD}{2}\), \(NB=AB - AN=AB(1-\cos\frac{\angle BAD}{2})\) и \(NL=AK\cdot \dfrac{NB}{AB}=2 AB \cos\frac{\angle BAD}{2} (1-\cos\frac{\angle BAD}{2})=2\cdot 4(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4})=4\sqrt{3}-6\).

Ответ: \(4\sqrt{3}-6\).