Вычислить n-ую производную для следующих функций:
<p>
\(f(x)=x^\alpha\)
<p>
\(f(x)=sin x\)
<p>
\(f(x)=cos x\)
<p>
\(f(x)=a^x\)
<p>
\(f(x)=(ln(1+x))\).

Решение

1) \(f(x)=x^\alpha\)
\(\Rightarrow\)
\(f′(x)=\alpha\cdot x^{\alpha-1}\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot x^{\alpha-2}\)

<p>
2) \(f(x)=sin x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′(x)=cos x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′(x)=-sin x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′′(x)=-cos x\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(4)}(x)=sin x\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(n)}(x)=sin (x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})\)

<p>
3) \(f(x)=cos x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′(x)=-sin x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′(x)=-cos x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′′(x)=sin x\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(4)}(x)=cos x\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(n)}(x)=\cos (x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})\)
<p>
4) \(f(x)=a^x\)
\(\Rightarrow\)
\(f′(x)=a^x\cdot(\ln a)\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′(x)=a^x\cdot(\ln a)^2\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′′(x)=a^x\cdot(\ln a)^3\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(4)}(x)=a^x\cdot(\ln a)^4\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(n)}(x)=a^x\cdot(\ln a)^n\)
<p>
5)\(f(x)=\ln(1+x)\)
\(\Rightarrow\)
\(f′(x)=(1+x)^{-1}\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′(x)=-1\cdot(1+x)^{-2}\)
\(\Rightarrow\)
\(f′′′(x)=1\cdot2\cdot(1+x)^{-3}\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(4)}(x)=-1\cdot2\cdot3\cdot(1+x)^{-4}\)
\(\Rightarrow\)
\(f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot2(n-1)!\cdot(1+x)^{-n}\)

Ответ: .