Окружность, проходящая через вершины \(A, B\) треугольника \(\triangle ABC\) и центр описанной около этого треугольника окружности, пересекает стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Найдите угол \(\angle BCA,\) если известно, что \(AB = \sqrt2, AC = \sqrt3\) и что угол \(\angle BAE\) в два раза больше угла \(\angle ABD.\)

Решение

1) Обозначим искомый угол \(\angle BCA = \alpha,\) а угол \(\angle ABD = \beta.\) Тогда \(\angle BAE = 2\beta\) по условию, а \(\angle BOA = 2\alpha,\) как центральный угол для вписанного угла \(\angle BCA\) большей окружности. Так же \(\angle BEA = \angle BDA = \angle BOA = 2\alpha,\) как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу меньшей окружности.

2) Тогда угол \(\angle BDC = 180^{\circ} - 2\alpha,\) и по формуле суммы углов треугольника для \(\triangle BDC: \angle DBC = \alpha.\) Воспользуемся этой же формулой для треугольника \(\triangle ABE: 3\alpha + 3\beta = 180^{\circ},\) откуда \(\alpha + \beta = 60^{\circ},\) в частности \(\alpha < 60^{\circ}\) и \(\angle ABE = \alpha + \beta = 60^{\circ}.\)

3) Теперь запишем теорему синусов для треугольника \(\triangle ABC: \frac{\sqrt2}{2\sin \alpha} = \frac{\sqrt3}{2\sin 60^{\circ}} = 1,\) откуда \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}.\) Но вспоминая, что \(\alpha < 60^{\circ},\) окончательно получаем \(\alpha = 45^{\circ}.\)

Ответ: \(45^{\circ}\).