Основание \(ABCD\) прямоугольного \(\href{https://examp.info/onedef/parallelepiped/}{\text{параллелепипеда}}\) \(ABCDA^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}D^{\prime}\) с боковыми рёбрами \(AA^{\prime} , BB^{\prime} , CC^{\prime} , DD^{\prime}\) является квадратом со стороной \(\sqrt{\mathstrut 2}\). Известно, что \(AE\perp D^{\prime}F \), где \(E\) \(-\) центр грани \(BCC^{\prime}B^{\prime} , F\) \(-\) центр квадрата \(ABCD\). Найдите расстояние между серединами отрезков \(AE\) и \(D^{\prime} F\).

Решение

Положим \(h = AA^{\prime}\). Введём прямоугольную систему координат с центром в \(A\) и осями \(AB, AD, AA^{\prime}\). Тогда \(\overrightarrow{AE} = \left(\sqrt{\mathstrut 2},\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2},\dfrac{h}{2}\right), \overrightarrow{D^{\prime}F} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AD^{\prime}}=\left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2},\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2},0\right) - \left(0,\sqrt{\mathstrut2},h\right) = \left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2},-\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2},-h\right) \).

Ортогональность этих векторов означает, что \(\sqrt{\mathstrut 2}\cdot\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2} + \dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2}\cdot\Big(-\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2}\Big) +\dfrac{h}{2}\cdot(-h) = 0 \Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{h^2}{2}=0\), откуда \(h=1\).

Тогда N и M \(-\) середины отрезков \(AE\) и \(D^{\prime}F\) имеют координаты \(N=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE} = \left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2},\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{4},\dfrac{1}{4}\right)\), \(M = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD^{\prime}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut2}}{2},\dfrac{3\sqrt{\mathstrut2}}{2},1\right)=\left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut2}}{4},\dfrac{3\sqrt{\mathstrut2}}{4},\dfrac{1}{2}\right)\).

Квадрат расстояния между этими точками равен \(\left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut2}}{4} -\dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{\mathstrut2}}{4} - \dfrac{\sqrt{\mathstrut 2}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)^2 =
\left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut2}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{\mathstrut2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{11}{16}\).

Тогда само расстояние \(\dfrac{\sqrt{11}}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{11}}{4}\).