На гипотенузе \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) таким образом, что \(AD:DB=BE:EA=1:7\). Найдите \(AB\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(56\), а тангенс угла \(\angle DCE\) равен \(3\).

Решение

Положим \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). Опустим из точек \(D\) и \(E\) на сторону \(AC\) перпендикуляры \(DK\) и \(EL\) соответственно. По \( \href{https://examp.info/theorem/o-proporcionalnyh-otrezkah/}{ \text{теореме о пропорциональных отрезках} } \) точки \(K\) и \(E\) будут делить \(AC\) в отношении \(AK:KL:LC = 1:6:1\). Пусть \(AD:DB=BE:EA=1:n\) (по условию \(n=7\)). Тогда
\begin{equation*}
\text{tg} \angle ACE = \dfrac{EL}{CL} = \dfrac{\frac{n}{n+1} a}{\frac{1}{n+1} b} = \dfrac{na}{b}, \quad \text{tg} \angle ACD = \dfrac{DK}{CK} = \dfrac{\frac{1}{n+1} a}{\frac{n}{n+1} b} = \dfrac{a}{nb}.
\end{equation*}
Используя формулу для тангенса разности \( \text{tg} (\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} x - \text{tg} y}{1 + \text{tg} x \text{tg} y} \), получим
\begin{equation*}
\text{tg} \angle DCE = \text{tg} (\angle ACE - \angle ACD) = \dfrac{\frac{na}{b} - \frac{a}{nb}}{1- \frac{na}{b} \cdot \frac{a}{nb}} = \dfrac{n^2-1}{n} \cdot \dfrac{ab}{a^2+b^2} = \dfrac{n^2-1}{n} \cdot \dfrac{2 S _{\triangle ABC}}{c^2},
\end{equation*}
откуда \(c= \sqrt{\dfrac{n^2-1}{n} \cdot \dfrac{2 S _{\triangle ABC}}{\text{tg} \angle DCE}}= \sqrt{\dfrac{48}{7} \cdot \dfrac{112}{3}}=16\).

Ответ: 16.