Решите систему
\begin{equation*}
\begin{cases}
6^{y+1}5^{|2+x-x^2|+1+\log_5 6}=5,\\
3\sqrt{2-y}\leqslant 6-|y+2|.
\end{cases}
\end{equation*}
В ответе укажите минимальное значение, которое может принимать сумма \(x+y\), если \(x\) и \(y\)
являются решениями системы, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

Решение

<p>Сначала решим последнее неравенство. В левой части неравенства функция \(f(y)=3\sqrt{2-y}\) убывающая, в правой части функция \(g(x)= 6-|y+2|\), возрастающая при \(y \leqslant -2\) и убывающая при \(y \geqslant -2\). При этом \(f(-2)=g(-2)=6\), \(f(1)=g(1)=3\). Следовательно, при \(y \leqslant -2\) неравенство не выполнено. Так как функция \(f\) выпукла вверх, то и при \(-2 < y < 1\) не выполнено. При \(y \in (1;2]\) функция \(f\) убывает быстрее, чем функция \(g\) \(f^\prime(y)-g\prime(y)=-\dfrac{3}{2\sqrt{2-y}}+1 < 0\) и \(f(1)=g(1)=3\). Тогда неравенство верно при \(y \in \left\{-2\right\}\cup[1;2]\}\). </p>
<p>После преобразования первого уравнения получим \(6^{y+2}5^{|2+x-x^2|}=1\). \(6^{y+2} \geqslant 1\) при \(y \in \left\{-2\right\}\cup[1;2]\}\), а \(|2+x-x^2|\geqslant 0\) при любом \(x\). Тогда равенство выполняется только если \(6^{y+2}=5^{|2+x-x^2|}=1\). Следовательно, \(y=-2\) и \(x=2, -1\). Выражение \(x+y\) минимально при \(y=-2\) и \(x=-1\) и равно \(-3\).</p>

Ответ: -3.