Решите неравенство \(5^{\log^2 _{5} x}+3 x^{\log _{5} x} < 20\).

Решение

Воспользуемся формулой \( \href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{a^{\log _{b} c} = c^{\log _{b} a}} \):

\[ 5^{\log^2 _{5} x}+3 x^{\log _{5} x} < 20 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow 5^{\log^2 _{5} x}+3 \cdot (x^{\log _{5} 5})^{\log _{5} x} < 20 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow 5^{\log^2 _{5} x}+3 \cdot (5^{\log _{5} x})^{\log _{5} x} < 20 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow 5^{\log^2 _{5} x}+3 \cdot 5^{\log^2 _{5} x} < 20 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow 4 \cdot 5^{\log^2 _{5} x} < 20 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow 5^{\log^2 _{5} x} < 5 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow \log^2 _{5} x < 1 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow -1 < \log _{5} x < 1 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow \dfrac{1}{5} < x < 5. \]

Ответ: \(\dfrac{1}{5} < x < 5\).