В треугольной пирамиде \(SABC\) в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AC\). Боковые грани \(SAB\) и \(SAC\) перпендикулярны плоскости \(ABC\). Сфера радиусом, равным \(AC\), с центром в точке \(S\) делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если \(SA = AB = 2\).

Решение

По условию \((SAB) \perp (ABC)\) и \((SAC) \perp (ABC)\), тогда \(SA \perp (ABC)\).

Пусть \(SA=AB=a\). Пирамида \(SABC\) является частью куба с ребром \(2a\) (см. рис.). Все 48 пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины \(S\). Объем куба составляет \(V=8a^3,\) пирамиды \(SABC\) равен \(\frac{a^3}{3\cdot2}=\frac{a^3}{6}=\frac{V}{48}\).

Таким образом, искомый объем \(-\) это \(\frac{1}{48}\) объема пересечения куба и сферы с центром в точке \(S\) с радиусом \(R=\sqrt{2}a\). Объем пересечения равен объему шара без шести шаровых сегментов с высотой \(h=(\sqrt{2}-1)a\) (см.рис).

Получаем

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3 - 6\pi h^2\left(R-\dfrac{h}{3}\right)=\)
\(\dfrac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt{2}a^3-6\pi(\sqrt{2}-1)^2\left(\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}\right)a^3=\)
\( \dfrac{2}{3}\pi a^3\left(4\sqrt{2}-3(3-2\sqrt{2})(2\sqrt{2}+1)\right)=\)\(\dfrac{2}{3}\pi a^3(4\sqrt{2}-3(4\sqrt{2}-5))= \dfrac{2}{3}\pi a^3(15-8\sqrt{2})\).

Следовательно, объем искомой части равен \[\dfrac{2}{3\cdot 48}\pi a^3(15-8\sqrt{2})=\dfrac{1}{72}\pi a^3(15-8\sqrt{2})=\dfrac{1}{9}\pi (15-8\sqrt{2}), \text{где} \,\, a=2\]

Необходимо проверить, что найденный объем большая часть. Половина объема пирамиды равна \(\dfrac{a^3}{12}=\dfrac{2}{3}\), что меньше найденного, так как \(\dfrac{1}{9}\pi (15-8\sqrt{2}) > \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 15-8\sqrt{2} > \dfrac{6}{\pi} \Leftrightarrow 15-8\sqrt{2}> 15 - 4\cdot 3 = 3 > \dfrac{6}{\pi}\).

Ответ: \(\dfrac{1}{9}\pi (15-8\sqrt{2})\).