Найти предел:

\(
\lim_{x\to0} \large \frac{x-\arctan x}{x^3}.
\)

Показать решение

Найти предел:
\(
\lim_{x\to\frac{\pi}{2a}} \large \frac{1-\sin{ax}}{(2ax-\pi)^2}
\).

Показать решение

Найти предел:
\(
\lim_{x\to0} \large \frac{a^x-l^x}{\tan{x}}.
\)

Показать решение

Найти предел:
\(
\lim_{x\to\frac{\pi}{6}} \large \frac{1-2\sin{x}}{\cos{3x}}.
\)

Показать решение

Найти предел: \(
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\large \frac{1-\tan{x}}{\cos{2x}}
\)

Показать решение

Найти предел:

\(
\lim_{x\to0} \large \frac{e^{2x} - 1}{\ln (1+2x)}.
\)

Показать решение

Найти предел: \(
\lim_{x\to1} \frac{\ln x}{1-x^3}.
\)

Показать решение

Найти предел:
\(
\lim_{x\to0} (1-e^{2x})\cot{x}.
\)

Показать решение

Найти предел: \(
\lim_{x\to1} x^{\frac{1}{1-x}}.
\)

Показать решение

Найти предел:

\(
\lim_{x\to0} \Bigr( \frac{1}{x\sin{x}} - \frac{1}{x^2} \Bigl).
\)

Показать решение

Найти предел:

\(
\lim_{x\to0} (e^{2x} + x)^{\frac{1}{x}}.
\)

Показать решение

Найти экстремум функции и построить её график: \( y = 4x-x^2 \).

Показать решение

Найти экстремум функции и построить её график: \(y = \large \frac{x^2}{x-2}.\)

Показать решение

Найти экстремум функции и построить её график:
\(
y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}.
\)

Показать решение

Тест

Показать решение

Решить дифференциальное уравнение \(\int\limits_0^x {(x - t)y(t){\mkern 1mu} dt = 2x + } \int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} \).

Показать решение

Дана треугольная призма \(ABCA'B'C'\) с основанием \(ABC\) и боковыми рёбрами \(AA', BB', CC'\). На диагоналях \(AB', BC', CA'\) отмечены точки \(D, E, F\) соответственно. Найдите соотношение, в котором плоскость \(DEF\) делит отрезок \(AA',\) если \(AD : DB' = 1 : 1, BE : EC' = 1 : 2, CF : FA' = \\ \)
\( = 1 : 3. \\ \)

Показать решение

Продолжения сторон \(AB\) и \(CD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(S\). Точки \(E\) и \(F\) середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Докажите, что \(S_{ESF}\) равно \(\frac14 S_{ABCD}\).

Показать решение

Решить методом введения параметра: \(x = y'^3 +y'.\)

Показать решение

Решить уравнение: \begin{equation*} xy' - y = x\cdot \mathop{\mathrm{tg}}{\frac{y}{x}}\end{equation*}

Показать решение

Решите уравнение: \(xy' - y = (x+y)\cdot\ln{\frac{x+y}{x}}.\)

Показать решение

Решите \(\int{\cos^3x\sin x dx}\)

Показать решение

Решите \(\int{xcosxdx}\)

Показать решение

Решите \(\int{\frac{2x+5}{x^2-9}}\)

Показать решение

Решите \(\int{\sqrt[8]{1-2x^5}x^4dx}\)

Показать решение

Найдите площадь фигуры:
\(y=-x^3,y=-8,x=0\)

Показать решение

Определите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями \(y=1-x^2\)и \(-x + y=1\) вокруг оси \(Oy\).

Показать решение

Натуральные числа \(a, b, c\) таковы, что \(ab\) делится на \(2^{9}3^{10}5^{10}\), \(bc\) делится на \(2^{14}3^{13}5^{13}\), \(ac\) делится на \(2^{19}3^{18}5^{30}\). Найдите наименьшее возможное значение произведения \(abc\).

Показать решение

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\). Окружность, касающаяся прямой \(BC\) в точке \(B\), пересекает высоту \(CD\), проведённую к гипотенузе, в точке \(F\), а катет \(AC\) – в точке \(E\). Известно, что \(AB\parallel EF, AD:DB= 3 : 1\). Найдите отношение площади треугольника \(ABC\) к площади треугольника \(CEF\).

Показать решение

Решите уравнение \(5\arcsin(\cos{x}) = x + \frac{\pi}{2}\).

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), для каждого из которых найдётся значение параметра \(b\), при котором система уравнений \(\left\{\begin{array}{l}
ax+2y-3b=0\\
(x^2+y^2-9)(x^2+y^2-12x+32)=0\\
\end{array} \right. \) имеет ровно \(4\) решения.

Показать решение

Некоторые числа \(x\) и \(y\) удовлетворяют равенствам \({\log^4_3} x + 6\log_x 3 = \log_{x^2} 243 - 8\:\) и \(\:{\log^4_3} (5y) + 2\log_{5y} 3 = \log_{25y^2}(3^{11}) - 8\). Найдите все возможные значения произведения \(xy\).

Показать решение

На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках \(O(0;0), P(-14;42), Q(6;42) \) и \(R(20;0)\). Найдите количество пар точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что \(3x_2-3x_1+y_2-y_1=33\).

Показать решение

Решите неравенство \(f(f(x))<(f(x))^2,\) где \(f(x)=2x^2-1.\)

Показать решение

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(y=(\arcsin x) \cdot (\arccos x).\)

Показать решение

Числа \(x,y\) удовлетворяют уравнению \(\sqrt{x^3+y}+\sqrt{y^3+x}=\sqrt{x^3+x}+\sqrt{y^3+y}.\) Можно ли утверждать, что \(x=y?\)

Показать решение

Докажите, что существует бесконечное можество троект натуральных чисел \(x,\) \(y \) \(z,\) удовлетворяющих соотношениию \(x^2+y^2=z^{2022}.\)

Показать решение

На координатной плоскости дан прямоугольник с целочисленными координатами вершин, отличный от квадрата. Докажите, что можно провести несколько прямых, параллельных сторонам прямоугольника, так, что прямоугольник разобъётся на квадраты с целочисленными координатами вершин.

Показать решение

Дана треугольная пирамида \(SABC\), медианы \(A{A}_1,B{B}_1\) и \( C{C}_1\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\). Сфера \(\Omega \) касается ребра \(AS\) в точке \(L\) и касается плоскости основания пирамиды в точке \(K\), лежащей на отрезке \(AM\). Сфера \(\Omega \) пересекает отрезок \(SM\) в точках \(P\) и \(Q\). Известно, что \(SP = MQ\), площадь треугольника \(ABC\) равна \(90\), \(SA = BC = 12\).
а) Найдите произведение длин медиан \(A{A}_1, B{B}_1\) и \(C{C}_1\).
б) Найдите двугранный угол при ребре \(BC\) пирамиды, если дополнительно известно, что \(\Omega\) касается грани \(BCS\) в точке \(N\), \(SN = 4\), а радиус сферы \(\Omega\) равен \(5\).

Показать решение

На картинке нарисовано несколько кружочков, соединённых отрезками. Саша выбирает натуральное число \(n\) и расставляет в кружочках различные натуральные числа так, чтобы для всех этих чисел выполнялось свойство: если числа \(a\) и \(b\) не соединены отрезком, то сумма \(a+b\) должна быть взаимно проста с \(n\), а если соединены, то числа \(a+b\) и \(n\) должны иметь общий натуральный делитель, больший \(1\). При каком наименьшем \(n\) существует такая расстановка?

Показать решение

При \(x, y, z \in (0, 2]\) найдите максимальное значение выражения \(A = \dfrac{(x^3-6)\sqrt[3]{x+6}+(y^3-6)\sqrt[3]{y+6}+(z^3-6)\sqrt[3]{z+6}}{x^2+y^2+z^2}\).

Показать решение

Диагонали вписанного четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Внутри треугольника \(AOB\) выбрана такая точка \(K\), что прямая \(KO\) является биссектрисой угла \(CKD\). Луч \(DK\) вторично пересекает описанную окружность треугольника \(COK\) в точке \(L\), а луч \(CK\) вторично пересекает описанную окружность треугольника \(DOK\) в точке \(M\). Найдите отношение площадей треугольников \(ALO\) и \(BMO\).

Показать решение

Натуральное число \(x\) в системе счисления с основанием \(r\) \( (r\leqslant 36 )\) имеет вид \(\overline{ppqq}\), причём \(2q=5p\). Оказалось, что \(r-\)ичная запись числа \(x^2\) представляет собой семизначный \( \href{https://examp.info/onedef/palindrom/} {\text{палиндром}}\) с нулевой средней цифрой. Найдите сумму \(r-\)ичных цифр числа \(x^2\).

Показать решение

При каких \(n\) клетчатую доску \(n \times n\) можно разбить по клеточкам на один квадрат \(2 \times 2\) и некоторое количество полосок из пяти клеток так, что квадрат будет примыкать к стороне доски?

Показать решение

Простые числа \(p, q\) и \(r\) таковы, что \(p < q\), \(p+q = r\), \( p^2 + q^2 = r^2 - 116.\) Найдите \(p, q\) и \(r\).

Показать решение

\(P(x) \) \(-\) кубический многочлен с рациональными коэффициентами. Его значение в точке \(\sqrt{11}\) составляет \(5,\) а значение его производной в этой же точке равно 66. Найдите все коэффициенты многочлена.

Показать решение

Вася написал на доске три числа: \(\sin x, \sin 2x, \sin 3x\) в каком-то порядке. Все числа оказались различными. Петя пытается определить, какое из чисел где. Какое из трёх утверждений верно:

(1) У Пети всегда получится определить, где \(\sin x\), где \(\sin 2x\), а где \(\sin 3x\).
(2) При некоторых значениях получится, а при некоторых нет.
(3) Никогда не получится.

Показать решение

Дан куб \(ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\) с ребром равным \(x\). \(S\) \(-\) сфера, вписанная в каркас этого куба (то есть, касающаяся всех его рёбер). Точка \(M\) \(-\) середина ребра \({B}_1{C}_1\). Прямая \(AM\) вторично пересекает сферу \(S\) в точке \(X\). Найдите \(AX\).

Показать решение

Для произвольных вещественных чисел \(x, y, z, t\) больших \(7\) докажите неравенство:

\[4·\sqrt{(x-3)(y-4)(z-5)(t-6)} < (x-2)^2+(y-5)^2+(z-7)^2+(t-4)^2.\]

Показать решение

В трапеции \(ABCD\) длины диагонали \(BD\) и основания \(BC\) равны. Точка \(X\) на луче \(BD\) такова, что \(BX = CX\). На прямой \(CX\) взята точка \(Y\) такая, что \(AB = BY\). Известно, что \(\angle{DBC} =\alpha^{\circ}, \angle{ABD} = \beta^{\circ}.\) При этом, \( \alpha+\beta \not =90.\) Найдите градусную меру угла \(\angle{BYC}\).

Показать решение

Последовательность \(x_n\) задана рекуррентным соотношением \(x_{n+1} = x_n + \{x_n\}\) и начальным условием \(x_0 = \frac{1}{67}\). Найдите \( [x_{66000}]\).
Здесь, \(\{x\}\) \(-\) \( \href{https://examp.info/onedef/drobnaya-chast-chisla/}{\text{дробная часть числа \(x\)}}.\)

Показать решение

На бесконечной клетчатой плоскости некоторые клетки покрашены в красный цвет, некоторые \(-\) в синий, а некоторые остались непокрашенными. Известно, что в каждой строчке, где есть хотя бы одна синяя клетка, есть также хотя бы \(5\) красных, а в каждом столбце, где есть хотя бы одна красная клетка, есть хотя бы \(6\) синих. Какое наименьшее положительное число покрашенных клеток может быть на плоскости?

В этой задаче правильный ответ с примером оценивается в 1 балл из 5, большая часть баллов ставится за доказательство того, что меньше закрашенных клеток быть не может.

Показать решение

Петя и Вася пригласили одноклассников на свой день рожденья в дом Пети и посадили всех за круглый стол пить чай. Петя отметил для себя наименьшее число стульев, разделяющих его с каждым из приглашенных гостей, кроме Васи. Сложив полученные числа, он получил \(60\). Найти число стульев за столом, если известно, что оно четное. Какое наименьшее число стульев разделяло Петю и Васю?

Показать решение

Решить уравнение \(\left(\sin^4 5x + 1\right)\left(\sin^4 3x + 1\right) = 4\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x\).

Показать решение

Найти все целые решения уравнения \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022}\).

Показать решение

Решить уравнение \( \left( \log_2 x +\sqrt{\log^2_2 x + 1}\right)\left(\log_2(x-2)+\sqrt{\log^2_2(x-2)+1}\right)=1\).

Показать решение

На клетках шахматной доски размером \(8\times 8\) случайным образом расставлены \(4\) одинаковых фигуры.
Найти вероятность того, что три из них будут находиться либо на одной горизонтали, либо на одной вертикали, либо на одной из двух главных диагоналей.

Показать решение

На ребре \(AC\) основания треугольной пирамиды \(ABCD\) расположена точка \(M\) так, что \(AM:MC = 1:2\). Через середину ребра \(BC\) основания пирамиды проведена плоскость \(P\), проходящая через точку \(M\) и параллельная боковому ребру \(CD\). В каком отношении плоскость \(P\) делит объем пирамиды?

Показать решение

В каждой клетке таблицы \(m \times n\) стоит крестик или нолик. При этом в каждой строке стоит не меньше \(19\) крестиков, а в каждом столбце — не меньше \(19\) ноликов.
Докажите, что \(m + n \geqslant 76\).

Показать решение

Даны квадратные трехчлены \(f(x)\) и \(g(x)\) со старшими коэффициентами, равными \(1\). Наименьшее значение трёхчлена \(f(x)\) равно \(10\), наименьшее значение \(g(x)\) равно \(20\). А наименьшее значение квадратного трёхчлена \(f(x) + g(x)\) равно \(50\) и достигается в точке \(x = x_0\).
Найдите \(f(x_0)\) и \(g(x_0)\).

Показать решение

Функции \(p\) и \(q\) определены на множестве натуральных чисел, не
превосходящих \(400\), и принимают натуральные значения, не превосходящие \(200\).
Докажите, что уравнение
\(p(x) − p(y) = q(x) − q(y)\)
имеет решение в натуральных числах \(x \neq y\).

Показать решение

Через вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного треугольника \(ABC\) \( (AB =
BC)\) проведена окружность, пересекающая отрезки \(AC\) и \(BC\) в точках \(X\) и \(Y\) соответственно. Описанная окружность треугольника \(CXY\) пересекает отрезок \(BX\) в точке \(Z\). Оказалось, что \(AB = 2CZ\). Найдите \(\frac{BZ}{ZX}\).

Показать решение

Натуральное число \(N\) имеет больше \(1000\) натуральных делителей (включая \(1\) и \(N\)). Все эти делители выписаны на доске. Саша стёр \(250\) наибольших и \(250\) наименьших из них. Среди оставшихся делителей оказалось поровну делящихся на \(13\) и не делящихся на \(13\). Докажите, что среди всех делителей тоже поровну делящихся и не делящихся на \(13\).

Показать решение

Салон сотовой связи продал 495 телефонов, базовая цена каждого из которых составляла 5000 руб. При этом каждый \(m\)-й продаваемый телефон был акционный и продавался со скидкой равной 500 руб. Покупатель каждого третьего акционного телефона получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере 750 руб. Определите число \(m\), если итоговая выручка салона от продажи телефонов составила 2 413 750 руб.

Показать решение

Решите уравнение \( \sin( \sin x) = \sin(1 + \cos x)\).

Показать решение

\( \href{https://examp.info/onedef/desyatichnaya-sistema-schisleniya/}{\text{Десятичная запись}}\) суммы \(3 + 33 + 333 + \ldots+ 33\ldots 3\) оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Показать решение

На поверхности куба \(A B C D A' B' C' D' \) построена замкнутая линия, каждая точка \(X\) которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности куба между точками \(X\) и \(A\) равна длине кратчайшего пути по поверхности куба между \(X\) и \(C'\). Найдите длину этой линии, если длина ребра куба равна 1.

Показать решение

При каких значениях параметра \(a\) система уравнений
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dfrac{1}{\log_{x} 5} - \dfrac{1}{\log_{y} 5}=1\\
y = ax^2+x+1 \\
\end{cases}
\end{equation*}
не имеет решений.

Показать решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике \(ABC\) проведены медианы \(AM\) и \(CN\), а также высоты \(AP\) и \(CQ\). Известно, что \(MP = NQ\) и что радиус окружности, касающейся стороны \(AC\) и продолжений сторон \(BA\) и \(BC\), равен 1. Найдите периметр треугольника \(ABC\).

Показать решение

Найдите наименьшее значение функции
\( f(x)= \sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-18x+45}\).

Показать решение

На плоскости отмечено 8 различных точек, среди которых есть красные, синие и зеленые. Точек других цветов нет. Известно, что сумма всех попарных расстояний между красными и синими точками равна 12, между красными и зелеными равна 10, а между синими и зелеными равна 1. Каким может быть количество красных отмеченных точек?

Показать решение

Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по \(100\) букв. За одну операцию разрешается или вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) любое количество одинаковых букв, или убрать из последовательности любое количество подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за \(100\) операций.

Показать решение

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(1\). Окружность \(\omega\) касается стороны \(BC\), продолжения стороны \(AB\) в точке \(P\) и продолжения стороны \(AC\) в точке \(Q\). Прямая, проходящая через середины сторон \(AB\) и \(AC\), пересекает описанную окружность треугольника \(APQ\) в точках \(X\) и \(Y\) . Найдите длину отрезка \(XY\).

Показать решение

Дан многочлен \(Р\left( х \right)\) степени \(n > 5\) с целыми коэффициентами, имеющий \(n\) различных целых корней. Докажите, что многочлен \(Р\left( х \right) + 3\) имеет \(n\) различных действительных корней.

Показать решение

Числа \(u\), \(v\), \(w\) являются корнями уравнения \(x^3 - 3x - 1 = 0\). Найдите \(u^9+v^9+w^9\).

Показать решение

Правильный \(100\)-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Показать решение

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом \(V\) и объемом \( \dfrac{V}{2}\)) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб \(N\) событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от 45\(\%\) до 55\(\%\) включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Показать решение

В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) длины сторон \(AB\) и \(BC\) равны, \(DB\) – биссектриса угла \(ADC\), \(AD:DC = 4: 3\). Найдите косинус угла \(AKB\), если \(K\) – точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) и \(BK:KD = 1:3\).

Показать решение

Дано целое число \(h > 1\). Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) \(\textit{хорошей}\), если сумма её числителя и знаменателя равна \(h\). Скажем, что число \(h\) \(\textit{замечательное}\), если каждую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше \(h\), можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания.
Докажите, что \(h\) замечательное тогда и только тогда, когда оно простое.

(Напомним, что у обыкновенной дроби числитель целый, а знаменатель натуральный.)

Показать решение

Найдите все значения параметра a, при которых система
\begin{equation*}
\begin{cases}
(ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0, \\
(\log_{a} x^2 +\log_{a} y^2 -2) \log_{2} a^2 = 8\\
\end{cases}
\end{equation*}
имеет ровно шесть различных решений.

Показать решение

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Обязательно ли тогда этот тетраэдр правильный?

Показать решение

На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется на один из этих пяти цветов по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что \(2023\) красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов между собой, после которой все они станут синими. При каком наименьшем \(k\) можно гарантировать, что \(k\) красных хамелеонов, кусая только друг друга, смогут стать синими?

(Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся
красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и т. д. Правила смены цветов могут быть другими.)

Показать решение

Шар радиуса \(\frac{4}{9}\) лежит внутри правильной четырехугольной пирамиды \(SABCD\) со стороной основания 8 и высотой 3. Этот шар касается плоскости основания \(ABCD\) пирамиды и боковых граней \(SBC\) и \(SCD\). Плоскость \(\gamma\) касается шара, проходит через точку \(B\), середину \(K\) ребра \(CD\) и пересекает ребро \(SC\) в точке \(M\). Найдите объем пирамиды \(MBCK\).

Показать решение

В 2022 году исполняется 65 лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке \(-\) линия проходит через точку \( \Gamma\).
а) Определите площадь земной поверхности (в км\(^2\)), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте \(Н = 500\) км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса \(R = 6400\) км c центром в точке \(O\).
б) Найдите все значения \(n> 1\), для которых на поверхности земли можно
расположить окружности \(C_{1}, \ldots, C_{n}\), каждая из которых внешним образом
касается окружности \(C_{0}\), с центром в точке \(А\) и радиусом \(r < R\), каждая из
них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте \(H\), что и спутник с зоной покрытия \(C_{0}\). Каждая из зон покрытия \(C_{i}\) должна внешним образом касаться окружностей \(C_{0}\) и \(C_{i+1}\), \(i=0\), \(1\), \(...\), \(n - 1\), т.е. первая касается \(C_{0}\) и \(C_{2}\), вторая \(-\) \(C_{0}\) и \(C_{3}\), и т.д. Окружность \(C_{n}\) должна касаться \(C_{0}\) и \(C_{1}\).

Показать решение

В очереди под дождём стояли \(11\) человек, каждый держал зонтик. Они стояли вплотную, то есть зонтики соседей соприкасались (см. рис). Дождь закончился, люди закрыли зонтики и встали, соблюдая дистанцию в \(50\) см между соседями. Во сколько раз уменьшилась длина очереди? Людей можно считать точками, а зонтики \(-\) кругами радиуса \(50\) см.

Показать решение

Из \(100\) членов Совета Двух Племён часть \(-\) эльфы, остальные \(-\) гномы. Каждый написал два числа: количество эльфов в Совете и количество гномов в Совете. При этом своих соплеменников каждый посчитал верно, а при подсчёте иноплеменников ошибся ровно на \(2\). В написанных числах одна цифра встретилась не менее \(222\) раз.

Сколько эльфов и сколько гномов могло быть в Совете? Если вариантов несколько \(-\) укажите один из них.

Показать решение

В маленьком доме в Португалии пол выложен из четырёхугольных плиток одинаковой формы и размера (см. рис.).

Найдите все четыре угла плитки. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Произведение пяти различных целых чисел равно \(2022\).

Чему может равняться их сумма? Если ответов несколько \(-\) укажите их все.

Показать решение

Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета.
Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал \(-\) его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета.
Джо пришёл в казино со \(100\) долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше \(17\) долларов.
Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести из казино после такой игры?

Показать решение

Коттеджный посёлок имеет размеры \(n \times m\) одинаковых квадратных участков. Собственники по очереди начали огораживать свои участки забором. Стоимость части забора между любыми двумя соседними участками составила \(10\) тысяч рублей и её полностью нёс тот сосед, который огораживал свой участок первым (расходы не делились между соседями, то есть некоторые могли вообще ничего не потратить). В итоге все участки оказались огорожены забором с четырёх сторон.

Могло ли оказаться, что в итоге поровну жителей потратило на забор по \(0, 10, 30\) и \(40\) тысяч рублей, а остальные — по \(20\) тысяч?

Показать решение

Таня взяла список из ста чисел \(1, 2, 3, \ldots , 100\) и вычеркнула несколько из них. Оказалось, что какие бы два числа из оставшихся Таня ни взяла в качестве \(a\) и \(b\), уравнение \(x^2 + ax + b = 0\) имеет хотя бы один действительный корень. Какое наибольшее количество чисел могло остаться не вычеркнутым?

Показать решение

У прямого кругового конуса длина образующей равна \(5\), а диаметр основания равен \(8\).

Найдите наибольшую площадь треугольного сечения, которая может получиться при пересечении конуса плоскостью.

Показать решение

Борис раскладывает \(8\) белых и \(8\) чёрных шариков по двум коробкам. Настя наугад выбирает коробку, а потом не глядя берёт из неё шарик.

Может ли Борис так разложить шарики по двум коробкам, чтобы вероятность вынуть белый шарик была больше \(\frac{2}{3}\)?

Показать решение

На продолжении за точку \(C\) стороны \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) выбрана точка \(M\) , через неё проведена прямая, параллельная \(AC\). Эта прямая пересекает продолжение стороны \(AB\) в точке \(N\). Медианы треугольника \(BNM\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(D\) \(-\) середина \(AM\). Найдите углы треугольника \(ODC\).

Показать решение

На отрезке \([2;5]\) выбрали три разные точки, для каждой точки перемножили расстояния до двух других точек, получили положительные числа \(a, b, c\). Докажите, что \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{8}{9}.\)

Показать решение

Найдите все натуральные числа \(a\), для которых число
\[\dfrac{a+1+\sqrt{a^5+2a^2+1}}{a^2+1}\]
также является натуральным.

Показать решение

Найдите целую часть числа
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots + \dfrac{1}{\sqrt{623}+\sqrt{624}}\).

Показать решение

Пусть \(p\) \(-\) нечётное простое число. Найдите все целые \(x\) и \(y\) такие, что \(x^3+y^3+p^3=x^2y+xy^2\).

Показать решение

Функция \(f\) для всех действительных \(x\), \(y\) удовлетворяет неравенствам \(f(x+y) \geqslant f(x)+f(y)\) и \(f(x) \geqslant x\). Найдите все такие функции \(f(x)\).

Показать решение

Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 3 и 0, равна \( \underbrace{777 \ldots 77}_{2022} \). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?

Показать решение