Решить уравнение \( \left( \log_2 x +\sqrt{\log^2_2 x + 1}\right)\left(\log_2(x-2)+\sqrt{\log^2_2(x-2)+1}\right)=1\).

Решение

Левая часть рассматриваемого уравнения имеет смысл при \(x > 2\) (ОДЗ). Заметим, что на ОДЗ выполнено, что \[\log_2 x \pm \sqrt{\log^2_2 x + 1} \neq 0, \log_2 (x-2) \pm \sqrt{\log^2_2 (x-2) + 1} \neq 0.\]
Умножая правую и левую части исходного уравнения на \(\sqrt{\log^2_2 x + 1} - \log_2 x\) и учитывая, что \(\left(\sqrt{\log^2_2 x + 1} + \log_2 x\right)\left(\sqrt{\log^2_2 x + 1} - \log_2 x\right) = 1,\) получим равносильное уравнение
\[
\log_2(x-2)+\sqrt{\log^2_2(x-2)+1} = \sqrt{\log^2_2 x + 1} - \log_2 x. \quad (1)
\]
Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на \(\sqrt{\log^2_2(x-2)+1} - \log_2(x-2),\) получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)
\[
\sqrt{\log^2_2(x-2)+1} - \log_2(x-2) = \log_2 x + \sqrt{\log^2_2 x + 1}. \quad (2)
\]
Вычитая из уравнения \((1)\) уравнение \((2)\), получаем, \(\log_2 x + \log_2(x-2) = 0,\) что равносильно системе
\(\left\{
\begin{array}{l}
\log_2\left(x(x-2)\right) = 0,\\
x > 2.
\end{array}\right.
\)
Таким образом,
\(\left\{
\begin{array}{l}
x^2 - 2x = 1,\\
x > 2.
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 \pm \sqrt{2},\\
x > 2.
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
x = 1 + \sqrt{2}.
\)

Ответ: \(x = 1 + \sqrt{2}\).