Конфигурационная

В трапеции \(ABCD\) длины диагонали \(BD\) и основания \(BC\) равны. Точка \(X\) на луче \(BD\) такова, что \(BX = CX\). На прямой \(CX\) взята точка \(Y\) такая, что \(AB = BY\). Известно, что \(\angle{DBC} =\alpha^{\circ}, \angle{ABD} = \beta^{\circ}.\) При этом, \( \alpha+\beta \not =90.\) Найдите градусную меру угла \(\angle{BYC}\).

Решение

Треугольник \(BXC\) равнобедренный, поэтому \(\angle XCB =\angle XBC = \alpha.\)
\(\angle BDA = \angle DBC = \alpha\), так как это накрест лежащие углы. Значит \(\angle XCB = \angle BDA.\)

\(\href{https://examp.info/onedef/povorot-ploskosti/}{\text{Повернём}}\) картинку на угол \(\alpha\) относительно точки \(B\) так, чтобы точка \(C\) перешла в точку \(D\). Точка \(X\) при этом перейдет в некоторую точку \(X'\). Так как при повороте прямые переходят в прямые, а углы углы между прямыми сохраняются, то \(\angle BDX'=\angle BCX=\angle BDA\). Отсюда следует, что точка \(X'\) будет лежать на прямой \(DA\), а значит прямая \(CX\) при этом повороте перейдёт в прямую \(DA\). Так как \(Y \in AD\), то при этом повороте она перейдёт в такую точку на прямой \(AD\), что расстояние от неё до точки \(B\) равно \(AB\). Таких точек две. Одна из них точка \(A\), а вторая \(-\) какая-то точка \(A'\).

Значит, \(\angle BYC = \angle BAD\) или \(\angle BYC = \angle BA'D.\) \(\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - \alpha - \beta,\) как односторонний угол. Это один из ответов.

Посмотрим теперь на точку \(A'\). Треугольник \(BAA'\) равнобедренный, причём \(\angle BAA'\) равен тому из углов \(\angle BAD \) и \(180^{\circ}-\angle BAD \), который является острым (случай прямого угла исключается условием задачи.)
Если \(\angle BAD\) тупой, точка \(A'\) лежит на луче \(DA\) и \(\angle BA'D = 180^{\circ} - \angle BAD =\alpha + \beta\).

Если же \(\angle BAD\) острый, \(\angle BA'A = \angle BAA' = \angle BAD = 180^{\circ} - \alpha - \beta \) и точка \(A'\) находится на луче \(AD\). При этом во всех вариантах \(180^{\circ} - \alpha - \beta > \alpha\), то есть \(\angle BA'A > \angle BDA\), поэтому точка \(A'\) лежит ближе к \(A\), чем к \(D\), то есть попадает на отрезок \(AD\).
Значит \(\angle BA'D=180^{\circ}-\angle BA'A = \alpha +\beta\).

Ответ: \(\alpha +\beta, 180^{\circ} - \alpha -\beta\).