Решите уравнение \( \sin( \sin x) = \sin(1 + \cos x)\).

Решение

Для данного равенства возможны два случая.
1. \( \sin x =1+\cos x + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z} \); при этом \(|2 \pi k| = | \sin x - \cos x - 1| \leqslant 1 + | \sin x - \cos x | = 1+ \sqrt{2} | \sin (x - \frac{\pi}{4}) | \leqslant 1 + \sqrt{2} < 2\pi\). Отсюда \(k=0\).
Далее, \( \sin x = 1 + \cos x \rightarrow \sin x - \cos x = 1 \rightarrow \sin (x - \frac{\pi}{4})= \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x - \frac{\pi}{4} = (−1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z} \).
2. \( \sin x + 1 + \cos x = \pi (2k+1)\).
Поскольку \(|\pi (2k+1)| = | \sin x + \cos x + 1| < 3 < \pi \leqslant |\pi (2k+1)\)|, то в этом случае решений нет.

Ответ: \(\frac{\pi}{4}+(-1)^n \frac{\pi}{4}+\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).