В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом \(V\) и объемом \( \dfrac{V}{2}\)) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб \(N\) событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от 45\(\%\) до 55\(\%\) включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Решение

Если \(N\) — имеющееся количество больших колб в лаборатории, \(N= 3, 4, \ldots, 97,\) то \(n = 100-N\) — имеющееся количество малых колб в лаборатории, \(n = 3, 4,\ldots , 97.\) Для события \(A = \{\text{содержание соли в чаше находится в пределах от \(45\%\) до \(55\%\) включительно}\}\) необходимо найти такое наименьшее \(N,\) что \(\href{https://examp.info/onedef/veroyatnost/}{\text{вероятность}}\) \(P(A) <\frac{1}{2}.\)
Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: \(\omega=(i_1, i_2, i_3),\) \(i_j \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\}\), \(i_j \neq i_k, j, k = 1, 2, 3.\) Общее количество таких исходов равно \(100 \cdot99 \cdot98.\)
Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события \(A.\) Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.

1) Лаборант выбирает три большие колбы - тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:
\[
\frac{(0,8V+0,5V+0,2V)100}{3V}= 50\% \in[45\%;55\%].
\] Такой выбор благоприятствует появлению события A. Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно \[N \cdot (N -1)\cdot(N -2).\]
2) Лаборант выбирает три маленькие колбы - тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:
\[\frac{\left(0,8\frac{V}{2}+0,5\frac{V}{2}+0,2\frac{V}{2}\right)100}{\frac{3V}{2}}= 50\% \in [45\%; 55\%].\] Такой выбор благоприятствует появлению события A. Количество исходов в этом случае равно \[n \cdot (n - 1) \cdot (n-2).\]
3) Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую - тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:
\[\frac{(0,8V+0,5V+0,2\frac{V}{2})}{\frac{5V}{2}}=56\% \not\in [45\%; 55\%].\] Такой выбор не благоприятствует появлению события A.

4) Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы - тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:\[\frac{(0,8V+0,5\frac{V}{2}+0,2V)100}{\frac{5V}{2}}= 50\% \in [45\%; 55\%]. \]Такой выбор благоприятствует появлению события A. Количество элементарных исходов в этом случае равно \[N\cdot n\cdot (N - 1).\]
5) Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы - тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше: \[\frac{(0,8\frac{V}{2}+0,5V+0,2V)100}{\frac{5V}{2}}= 44\% \not\in[45\%; 55\%].\] Такой выбор не благоприятствует появлению события A.

6) Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу - тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:\[ \frac{(0,8\frac{V}{2}+0,5\frac{V}{2}+0,2V)100}{2V}=42,5\% \not\in [45\%; 55\%].\] Такой выбор не благоприятствует появлению события A.

7) Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы - тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше: \[ \frac{(0,8\frac{V}{2}+0,5V+0,2\frac{V}{2})100}{2V} = 50\% \in [45\%; 55\%].\] Такой выбор благоприятствует появлению события A. Количество элементарных исходов в этом случае равно \[n \cdot N \cdot (n - 1).\]
8) Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы - тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше: \[\frac{(0,8V+0,5\frac{V}{2}+0,2\frac{V}{2})100}{2V}= 57,5\% \not\in[45\%; 55\%]. \]Такой выбор не благоприятствует появлению события A.

Вычисляем вероятность события A (по формуле \(\href{https://examp.info/onedef/klassicheskaya-veroyatnost/}{\text{классической вероятности}}\)): \begin{gather*}
P(A)=\frac{N(N-1)(N-2)+n(n-1)(n-2)+Nn(N-1)+nN(n-1)}{100\cdot 99\cdot 98}=\\
\frac{N^3+n^3-3N^2-3n^2+2(N+n)+98Nn}{100\cdot 99\cdot 98}=\\
\frac{100(N^2-Nn+n^2)-3N^2-3n^2+200+98Nn}{100\cdot 99\cdot 98}=\frac{97(N^2+n^2)+200-2Nn}{100\cdot 99\cdot 98}=\\
\frac{97(N+n)^2+200-196Nn}{100\cdot 99\cdot 98}=
\frac{970200-196N(100-N)}{100\cdot 99\cdot 98}=\\
\frac{N^2-100N+4950}{4950}=\frac{(N-50)^2+2450}{4950}.
\end{gather*}
Отсюда имеем \[P(A) =\frac{(N-50)^2+2450}{4950}< \frac{1}{2} \Leftrightarrow 45 < N < 55. \]И значит, \(N_{min} = 46.\)

Ответ: при \( N=46\).