Найдите целую часть числа
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots + \dfrac{1}{\sqrt{623}+\sqrt{624}}\).

Решение

Обозначим \( A = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{623}+\sqrt{624}} \). Возьмём число: \( B = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{624}+\sqrt{625}} \). Число слагаемых одинаково, каждое слагаемое в \( A \) больше соответствующего слагаемого в \(B\), поэтому \(A > B\). Избавимся от иррациональности в знаменателях:

\[ A = \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{624} - \sqrt{623},
B = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{4} + \cdots + \sqrt{625} - \sqrt{624}. \]

Очевидно, \( A + B = \sqrt{625} - \sqrt{1} = 24 \). Оценим \( A - B \):

\[
A - B = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{622}+\sqrt{623}} - \frac{1}{\sqrt{623}+\sqrt{624}}=\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} - \underbrace{\left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\right)}_{> 0} - \cdots - \underbrace{\left( \frac{1}{\sqrt{622}+\sqrt{623}} - \frac{1}{\sqrt{623}+\sqrt{624}} \right)}_{> 0} - \frac{1}{\sqrt{624}+\sqrt{625}} < \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} < 1\]

Подставим \( B = 24 - A \): \( A - 24 + A < 1 \), отсюда \( A < 12{,}5 \). Но \( A > B \), значит, \( A > 12 \). Следовательно, целая часть числа \( A \) равна 12.

Ответ: \(12\).