Натуральные числа \(a, b, c\) таковы, что \(ab\) делится на \(2^{9}3^{10}5^{10}\), \(bc\) делится на \(2^{14}3^{13}5^{13}\), \(ac\) делится на \(2^{19}3^{18}5^{30}\). Найдите наименьшее возможное значение произведения \(abc\).

Решение

Чтобы произведение \(abc\) было минимальным, числа \(a, b, c\) не должны иметь простых делителей, отличных от \(2, 3, 5\). Пусть \(a = 2^{\alpha_1}3^{\beta_1}5^{\gamma_1}, b = 2^{\alpha_2}3^{\beta_2}5^{\gamma_2}, c = 2^{\alpha_3}3^{\beta_3}5^{\gamma_3}\) (показатели всех степеней – целые неотрицательные числа). Тогда \(abc = 2^{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}3^{\beta_1 + \beta_2 + \beta_3}5^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3} \). Рассмотрим отдельно делимость на \(2, 3\) и \(5\).

1) Из того, что \(ab\) делится на \(2^9\), следует, что \(\alpha_1 + \alpha_2 \geqslant 9\). Аналогично, \(\alpha_2 + \alpha_3 \geqslant 14\) и \(\alpha_1 + \alpha_3 \geqslant 19\). Сложив эти три неравенства и разделив пополам, получаем \(\alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 \geqslant \dfrac{9+14+19}{2}=21\). Покажем, что значение \(\alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = 21\) достигается. Для этого возьмём \(\alpha_1 = 7, \alpha_2 = 2, \alpha_3 = 12\) (эти значения могут быть получены как решения системы уравнений \(\alpha_1 + \alpha_2 = 9,
\alpha_2 + \alpha_3 = 14, \alpha_1 + \alpha_3 = 19\)).

2) Аналогично предыдущему случаю получаем, что \(\beta_1 + \beta_2 \geqslant 10, \beta_2 + \beta_3 \geqslant 13 \) и \( \beta_1 + \beta_3 \geqslant 18\). Сложив эти три неравенства и поделив пополам, получаем \(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 \geqslant \dfrac{10+13+18}{2} = 20{,}5\). Значит, \(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 \geqslant 21\). Значение \(21\) достигается, если, например, \(\beta_1 = 7, \beta_2 = 3, \beta_3 = 11\) (для того, чтобы найти показатели степеней, можно положить \(\beta_2 + \beta_3 = 14\), а два других неравенства обратить в равенства).

3) Из того, что \(ac\) делится на \(5^{30}\) следует, что \(\gamma_1+\gamma_3 \geqslant 30\). Заметим, что \(\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 \geqslant \gamma_1 + \gamma_3\). \(\gamma_1 +\gamma_2 +\gamma_3\) может равняться \(30\), если, например, \(\gamma_1 = 15\), \(\gamma_2 = 0, \gamma_3 = 15.\)
Так как минимум каждой из трёх сумм \(\alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3, \beta_1 + \beta_2 + \beta_3, \gamma_1 +\gamma_2 +\gamma_3\) не зависит от оставшихся, то и минимальное значение \(abc\) равно \(2^{\min{(\alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3)}}3^{\min{(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3})}5^{\min{(\gamma_1 +\gamma_2 +\gamma_3)}} = 2^{21} 3^{21} 5^{30}\).

Ответ: \(2^{21} 3^{21} 5^{30}\).