Числа \(x,y\) удовлетворяют уравнению \(\sqrt{x^3+y}+\sqrt{y^3+x}=\sqrt{x^3+x}+\sqrt{y^3+y}.\) Можно ли утверждать, что \(x=y?\)

Решение

Исследуем ОДЗ перменных. Поскольку \(x^3+x \geqslant 0 \Leftrightarrow x(x^2+1) \geqslant 0,\) то \(x \geqslant 0.\) Аналогично, \(y \geqslant 0.\)
Таким образом, для неотрицательных \(x,\) \(y\) обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному уравнению, которое, (после сокращения) запишется так:
\[\sqrt{x^3y^3 +xy+x^4 +y^4} = \sqrt{x^3y^3 +xy+xy^3 +x^4y}.\]

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:
\[x^4 + y^4 - xy^3 - x^3y = 0 \Leftrightarrow x^3(x-y)-y^3(x-y) = 0 \Leftrightarrow \] \[(x-y)(x^3 -y^3) = 0 \Leftrightarrow (x-y)^2(x^2 +xy+y^2) = 0.\]
Первый множитель обращается в 0 (только) при \(x = y,\) а второй – при \(x = y = 0.\)

Ответ: можно.