Найти все целые решения уравнения \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022}\).

Решение

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при \(n \geqslant 0\). Выполним преобразование в левой части:
\[
\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.
\]
Следовательно, \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) \(\href{https://examp.info/onedef/monotonnost/}{\text{монотонно убывает}}\) с ростом \(n,\) а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения.
Учитывая, что \(\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right) = 1,\) имеем равносильное исходному уравнение \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n} = \left(\sqrt{2}+1\right)^{2022}.\)
Тогда получим
\begin{gather*}
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022},\\
\sqrt{n+1} + \sqrt{n} = \left(\sqrt{2}+1\right)^{2022}.
\end{array}\right.
\quad \Rightarrow \\
\Rightarrow \quad
2\sqrt{n} = \left(\sqrt{2}+1\right)^{2022} - \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022}.
\quad \Rightarrow \\
\Rightarrow \quad
n = \left(\dfrac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2022} - \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022}}{2}\right)^2.
\end{gather*}
Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Согласно формуле для \(\href{https://examp.info/theorem/binom-nyutona/}{\text{бинома Ньютона}}\) имеем
\begin{gather*}
\left(\left(\sqrt{2}+1\right)^{2022} - \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022}\right)^2 = \left(\sum_{k=0}^{2022}C_{2022}^k 2^{\frac{k}{2}} - \sum_{k=0}^{2022}(-1)^kC_{2022}^k 2^{\frac{k}{2}}\right)^2 = \\
= \left(2\sqrt{2}\sum_{k=0}^{1010}C_{2022}^{2k+1}2^{k}\right)^2,
\end{gather*}
отсюда \[n = \left(\sqrt{2}\sum_{k=0}^{1010}C_{2022}^{2k+1}2^{k}\right)^2 = 2\left(\sum_{k=0}^{1010}C_{2022}^{2k+1}2^{k}\right)^2 \in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(n = \dfrac{1}{4}\left(\left(\sqrt{2}+1\right)^{2022} - \left(\sqrt{2}-1\right)^{2022}\right)^2.\).