Дана треугольная призма \(ABCA'B'C'\) с основанием \(ABC\) и боковыми рёбрами \(AA', BB', CC'\). На диагоналях \(AB', BC', CA'\) отмечены точки \(D, E, F\) соответственно. Найдите соотношение, в котором плоскость \(DEF\) делит отрезок \(AA',\) если \(AD : DB' = 1 : 1, BE : EC' = 1 : 2, CF : FA' = \\ \)
\( = 1 : 3. \\ \)

Решение

\(\textbf{Способ I}.\)
1. Поскольку точка \(D\) \(-\) середина диагонали \(AB'\) параллелограмма \(AA'B'B\), она также является серединой диагонали \(A'B\). Таким образом, точки \(D\) и \(F\) лежат в плоскости \(A'BC\), и точки \(D\) и \(E\) лежат в плоскости \(A'BC'. \\ \)

2. Обозначим через \(K\) точку пересечения прямых \(BC\) и \(DF\). Обозначим через \(L\) точку пересечения прямых \(A'C'\) и \(DE\). Обозначим через \(M\) и \(R\) точки пересечения прямой \(LF\) с прямыми \(AA'\) и \(CC'\) соответственно. Обозначим через \(Q\) точку пересечения прямых \(KE\) и \(BB'. \\ \)

3. \( \triangle MFA' \sim \triangle RFC, \quad \triangle BEQ \sim \triangle C'ER\) (по двум углам); \(\triangle A'MD = \triangle BQD\) (по стороне и двум прилежащим углам). Отсюда получаем следующее: \(\\\)

\[ A'M = BQ; \quad \dfrac{BQ}{C'R} = \dfrac{1}{2}; \quad \dfrac{A'M}{RC} = 3. \\ \]

4. Из пукнта 3 следует, что \[3 RC = A'M = BQ = \dfrac{C'R}{2} \quad\Rightarrow\quad C'R = 6RC \quad\Rightarrow\quad RC = \dfrac{CC'}{7} \quad\Rightarrow\quad RC = \dfrac{AA'}{7} \\ \]

\[ A'M = 3RC = \dfrac{3}{7}AA' \quad\Rightarrow\quad \dfrac{A'M}{MA} = \dfrac{3}{4}. \]

\(\textbf{Способ II (векторный)}.\)

Смотрите рисунок 2.

Ответ: 3 : 4.