Для произвольных вещественных чисел \(x, y, z, t\) больших \(7\) докажите неравенство:

\[4·\sqrt{(x-3)(y-4)(z-5)(t-6)} < (x-2)^2+(y-5)^2+(z-7)^2+(t-4)^2.\]

Решение

По \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенству о средних}}\)
\[\sqrt[4]{(x-3)(y-4)(z-5)(t-6)}\leqslant \dfrac{(x-3)+(y-4)+(z-5)+(t-6)}{4},\]
откуда
\[4\cdot\sqrt{(x-3)(y-4)(z-5)(t-6)} \leqslant \dfrac{(x+y+z+t-18)^2}{4}.\]
При этом, чтобы это неравенство обращалось в равенство, должно выполняться \(x-3=y-4=z-5=t-6\).
По \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном}}\)
\[\dfrac{(x-2)+(y-5)+(z-7)+(t-4)}{4}\leqslant \sqrt{\mathstrut\dfrac{(x-2)^2 + (y-5)^2 + (z-7)^2 + (t-4)^2}{4}},\]
откуда \[\dfrac{(x+y+z+t-18)^2}{4} \leqslant (x-2)^2 + (y-5)^2 + (z-7)^2 + (t-4)^2.\]
При этом, чтобы это неравенство обращалось в равенство, должно выполняться \(x-2=y-5=z-7=t-4.\)
Таким образом
\[4\cdot\sqrt{(x-3)(y-4)(z-5)(t-6)} \leqslant \dfrac{(x+y+z+t-18)^2}{4} \leqslant (x-2)^2 + (y-5)^2 + (z-7)^2 + (t-4)^2,\]
при этом оба неравенства не могут обращаться в равенство одновременно, что и требовалось доказать.