На продолжении за точку \(C\) стороны \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) выбрана точка \(M\) , через неё проведена прямая, параллельная \(AC\). Эта прямая пересекает продолжение стороны \(AB\) в точке \(N\). Медианы треугольника \(BNM\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(D\) \(-\) середина \(AM\). Найдите углы треугольника \(ODC\).

Решение

Возьмём на \(NM\) такую точку \(K\), что \(AK \parallel CM\), тогда \(ACMK\) — параллелограмм. Докажем, что треугольники \(KON\) и \(COM\) равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике \(AKN\) угол \(N\) равен \(60^\circ\), \(AK \parallel BC\), то есть треугольник \(AKN\) равносторонний, отсюда \(NK = NA = MC\). Точка \(O\) лежит на оси симметрии правильного треугольника \(NBM\), поэтому \(NO = OM\). Медианы в правильном треугольнике являются биссектрисами, поэтому \(\angle KNO = \angle CMO = 30^\circ\).

Из равенства треугольников \(KON\) и \(COM\) следует, что \(OK = OC\) и треугольник \(OKC\) равнобедренный. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, по условию точка \(D\) — середина \(AM\), значит, \(OD\) — медиана равнобедренного треугольника \(OKC\), то есть является и высотой. Таким образом, \(\angle ODC = 90^\circ\). Поскольку \(OD\) — биссектриса \(\angle KOD = \angle DOC = 1/2 \angle KOC\). Но \(\angle KOC = \angle KOM + \angle MOC\). При этом \(\angle MOC = \angle KON\), поэтому \(\angle KOC = \angle KOM + \angle KON = \angle NOM = 120^\circ\), так как это угол между медианами правильного треугольника. Тогда \(\angle DOC = 1/2 \angle KOC = 60^\circ\).

Ответ: \(30^ \circ, 60^\circ, 90^\circ\).