Решить методом введения параметра: \(x = y'^3 +y'.\)

Решение

Введем параметр:
\begin{equation*}
y'= p
\end{equation*}
Тогда
\begin{equation*}
x = p^3 + p
\end{equation*}
Возьмем дифференциал от обоих частей:
\begin{equation*}
dx = d(p^3 + p)
\end{equation*}
Распишем производную:
\begin{equation*}
y' = \frac{dy}{dx} = p
\end{equation*}
Из равенства получим:
\begin{equation*}
dx = \frac{dy}{p}
\end{equation*}
Возьмем интеграл от обоих частей:
\begin{equation*}
\int \mathrm{d} y = \int (3p^3+p)\, \mathrm{d} p
\end{equation*}
Находим y:
\begin{equation*}
y = \frac{3p^4}{4} + \frac{p^2}{2} + C
\end{equation*}

Ответ: \(\left\{\begin{array}{lr} x = p^3 + p\\ y = \frac{3p^4}{4} + \frac{p^2}{2} + C \end{array}\right\).