Даны квадратные трехчлены \(f(x)\) и \(g(x)\) со старшими коэффициентами, равными \(1\). Наименьшее значение трёхчлена \(f(x)\) равно \(10\), наименьшее значение \(g(x)\) равно \(20\). А наименьшее значение квадратного трёхчлена \(f(x) + g(x)\) равно \(50\) и достигается в точке \(x = x_0\).
Найдите \(f(x_0)\) и \(g(x_0)\).

Решение

Пусть \(f(x) = x^2 + ax + c, g(x) = x^2 + cx + d,\text{тогда } f(x) + g(x) = 2x^2 + (a+c)x + b + d\). Графиками этих функций являются параболы, ветви которых непаравлены вверх, значит наименьшее значение эти функции принимают в вершине. Найдем их.\\
1) Для f(x): \begin{equation*}
x_\text{в} = - \frac{a}{2}, \text{тогда } 10 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} + b \Leftrightarrow -a^2+4b = 40.
\end{equation*}
2) Для g(x): \begin{equation*}
x_\text{в} = - \frac{c}{2}, \text{тогда } 20 = \frac{c^2}{4} - \frac{c^2}{2} +d \Leftrightarrow -c^2+4d = 80.
\end{equation*}
3) Для f(x) + g(x): \begin{equation*}
x_0 = x_\text{в} = - \frac{a + c}{4}, \text{тогда } 50 = \frac{(a+c)^2}{8} - \frac{(a+c)^2}{4} + b + d \Leftrightarrow -\frac{(a+c)^2}{8} + b + d = 50.
\end{equation*}
Подставим 1) и 2) в 3), получим:
\begin{equation*}
ac = 140 - 2(b+d).
\end{equation*}
Теперь посчитаем \(f(x_0)\):
\begin{equation*}
f(x_0) = \frac{(a+c)^2}{16} - a * \frac{a+c}{4} + b = \frac{-3a^2-2ac+c^2+16b}{16}
\end{equation*}
Подставим сюда результаты 1) 2) и 3) вместо a и c:
\begin{equation*}
\frac{120 + 4b +280 - 4b - 4d + 4d - 80}{16} = \frac{320}{16} = 20
\end{equation*}
\begin{equation*}
g(x_0) = 50 - f(x_0) = 30
\end{equation*}

Ответ: \(f(x_0) = 20\); \(g(x_0) = 30\);.