|
Задача 781. Олимпиада школьников «Физтех». № 6
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках \(O(0;0), P(-14;42), Q(6;42) \) и \(R(20;0)\). Найдите количество пар точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что \(3x_2-3x_1+y_2-y_1=33\). Решение
Запишем исходное условие на координаты точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) в виде \(3x_2 + y_2 - 33 = 3x_1 +y_1.\) Так как координаты точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) являются целыми числами, то левая и правая часть этого равенства могут принимать только целочисленные значения \(k\). Пара точек \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\) с целочисленными координатами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых \(y = -3x + k\) и \(y = -3x + k + 33\) соответственно. Далее найдём подходящие значения параметра \(k\). Стороны \(OP\) и \(QR\) параллелограмма лежат на прямых \(y = -3x\) и \(y = -3x + 60,\) поэтому они параллельны прямым \(y = -3x + k\) и \(y = -3x + k + 33\). Эти прямые пересекают параллелограмм при \(0\leqslant k \leqslant 60\) и \(0 \leqslant k + 33 \leqslant 60\), поэтому \(k \in \left[0;27\right]\). Выясним количество точек с целочисленными координатами на каждой из прямых вида \(y=-3x+b.\) Если \(b\) кратно трём (т.е. \(b = 3l\)), то получаем прямую \(y = 3(-x+l)\). При любом целом \(x\) получится целое значение \(y\), а чтобы точка оказалась в параллелограмме нужно, чтобы \(0 \leqslant y \leqslant 42 \Leftrightarrow l - 14 \leqslant x \leqslant l\). При любом \(l \) этому неравенству удовлетворяет \(15\) целых значений \(x\). Если \(b\) не делится на \(3\), то есть при \(b = 3l + \gamma, \gamma \in \{1;2\},\) имеем \[0\leqslant -3x-3l+ \gamma \leqslant 42 \Leftrightarrow l + \frac{\gamma}{3}-14\leqslant x\leqslant l +\frac{\gamma}{3}.\] Учитывая, что \(x\in\mathbb{Z},\) получаем \(l-13\leqslant x \leq l\) — всего \(14\) целочисленных значений. Ответ: \(5778\). |
