Простые числа \(p, q\) и \(r\) таковы, что \(p < q\), \(p+q = r\), \( p^2 + q^2 = r^2 - 116.\) Найдите \(p, q\) и \(r\).

Решение

Возведём первое равенство в квадрат и перенесём \(2pq\) в правую часть:
\(p^2+q^2=r^2-2pq\), откуда \(2pq=116=2^2\cdot29\). Значит, учитывая \(p<q\), получаем \(p=2\), \(q = 29\), \( r = 31\).

Ответ: \(p=2, q = 29, r = 31\).