Определите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями \(y=1-x^2\)и \(-x + y=1\) вокруг оси \(Oy\).

Решение

\(V1= \pi \int_0^1{(1-y)dy}=\pi (\int_0^1{1dy}-\int_0^1{ydy})= \pi \cdot (y-\frac{y^2}{2})|_0^1=\frac{\pi}{2}\)

\(V2=\pi \int_0^1{(y-1)^2dy}=\pi \int_0^1{(y^2-2y+1)dy}=\pi(\int_0^1{y^2dy}-\int_0^1{2ydy}+\int_0^1{1dy})=\pi(\frac{y^3}{3}-\frac{2y^2}{2}+y)|_0^1=\pi(\frac{1}{3}-1+1)=\frac{\pi}{3}\)

\(V=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{6}\).