Найти экстремум функции и построить её график: \( y = 4x-x^2 \).

Решение

1) Область определения функции: \( \mathbb{R}\)
\(
2) x = 0 \Rightarrow y = 0\)
\(y = 0 \Rightarrow x = 0, x = 4\)
\(3) x = 1 \quad y = 3\)
\(x = - 1 \quad y = -5\\ \)

Общего вида, непериодичная

\(
4) y′ = 4 - 2x\)
\(y′ = 0 \Rightarrow x = 2; y = 4\)
\(f′(x) > 0 \text{ (функция возрастает) при } x \in (-\infty; 2) \)
\(f′(x) < 0 \text{ (функция убывает) при } x \in (2; +\infty) \)
\((2;4)-\)Точка экстремума, максимум функции

5) Асимптоты:

Вертикальных нет

Горизонтальных нет:
\(\lim_{x\to \infty} 4x - x^2 = -\infty
\)

Наклонных нет:
\(
y = kx+b\)
\(k = \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} =
\lim_{x\to\infty} \frac{4x-x^2}{x} =
\lim_{x\to\infty} 4-x = -\infty\)

Ответ: Экстремум: \( x = 2, y_{max} =4 \).