Пусть \(p\) \(-\) нечётное простое число. Найдите все целые \(x\) и \(y\) такие, что \(x^3+y^3+p^3=x^2y+xy^2\).

Решение

Перепишем уравнение в виде \(x^{3}+y^{3}-x^{2} y-x y^{2}=-p^{3}\) и разложим левую часть на множители:

\[
(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)-(x+y) x y=-p^{3} \Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}=-p^{3}
\]

Таким образом, числа \(x+y\) и \((x-y)^{2}\) являются степенями простого числа \(p\). Но \((x-y)^{2}\) \(-\) чётная степень \(p\), значит, множитель \(x+y\) \(-\) это нечётная степень \(p\), и так как \(x+y \leqslant 0\), то

\[(1)
\left\{\begin{array} {l}
{ x + y = - p , } \\
{ x - y = \pm p , }
\end{array} \quad \text { или } \quad (2)\left\{\begin{array}{l}
x+y=-p^{3}, \\
x-y= \pm 1.
\end{array}\right.\right.
\]

В (1) имеем: \(x=0, y=-p\) или \(x=-p, y=0\), в (2) имеем: \(-x=-\frac{1}{2}\left(p^{3}-1\right), y=-\frac{1}{2}\left(p^{3}+1\right)\) или \( x=-\frac{1}{2} \left( p^{3}+1 \right) \), \(y=-\frac{1}{2}\left(p^{3}-1\right)\). Так как \(p\) \(-\) нечётное, то числа \(x\) и \(y\) в этих наборах \(-\) целые.

Ответ: \((0;-p)\), \((-p;0)\), \(( \frac{1}{2} (1-p^3);- \frac{1}{2} (p^3+1))\), \((- \frac{1}{2} (p^3+1); \frac{1}{2} (1-p^3))\).