Дан прямоугольный треугольник \(ABC\). Окружность, касающаяся прямой \(BC\) в точке \(B\), пересекает высоту \(CD\), проведённую к гипотенузе, в точке \(F\), а катет \(AC\) – в точке \(E\). Известно, что \(AB\parallel EF, AD:DB= 3 : 1\). Найдите отношение площади треугольника \(ABC\) к площади треугольника \(CEF\).
Решение
Соединим точку \(B\) с точками \(E\) и \(F\). Так как \(AB \parallel EF,\) то \(\angle ABE = \angle FEB,\) а \(\angle CBF = \angle FEB\) по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому \(\angle ABE = \angle CBF\). Следовательно, \(BE\) и \(BF\) - соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках \(ABC\) и \(CBD\). Значит \(\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{CF}{DF}\). По теореме Фалеса \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DF}{CF}\). Из полученных равенств следует, что \(CF = DF\), поэтому \(F\) — середина \(CD\), а так как \(EF \parallel AD\), то \(EF\) — средняя линия треугольника \(ACD\). Отсюда \(S_{ACD} = 4S_{CEF}\) и \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{CEF}} = \dfrac{S_{ABC}}{0,25S_{ACD}} = \dfrac{4\cdot 0,5 \cdot AB \cdot CD}{0{,}5\cdot AD\cdot CD} = \dfrac{4AB}{AD}=4 \left( \dfrac{AD}{AD}+\dfrac{DB}{AD}\right) = 4\big(1+\frac{1}{3}\big) = \frac{16}{3}.\)