При каких \(n\) клетчатую доску \(n \times n\) можно разбить по клеточкам на один квадрат \(2 \times 2\) и некоторое количество полосок из пяти клеток так, что квадрат будет примыкать к стороне доски?

Решение

Если доску \(n \times n \) удалось разрезать на один квадрат \( 2 \times 2 \) и некоторое количество полосок из пяти клеток, то \( n^2 = 2^2+5m\), откуда \(n\) даёт остаток \(2\) или \(3\) от деления на \(5\). Предположим, что \( n = 5k + 3\) и доску удалось разрезать требуемым образом. Развернем её так, чтобы квадрат примыкал к верхней стороне доски. Запишем в клетках верхней строки единицы, в клетках следующей за ней строки — двойки, и так далее. Заметим, что сумма чисел в пяти последовательных строках кратна 5, поскольку\[ ni + n(i+1) + n(i+2) + n(i+3) + n(i+4) = 5n(i+2) \mathrel{\vdots} 5.\]

Поэтому остаток от деления на \(5\) суммы всех расставленыx чисел равен (берём первые три строки) \[ n+2n+3n = 6(5k+3) \equiv 3 \pmod 5.\] С другой стороны, в каждой полоске сумма чисел кратна 5 (это либо сумма \(5\) одинаковых чисел, либо сумма \(5\) подряд идущих), а в квадрате сумма чисел равна \( 1+ 1+2+2=6\). Значит, остаток от деления на \(5\) суммы всех расставленных чисел равен \(1\), и мы получаем противоречие.

Если \(n=5k+2\), то можно вырезать угловой квадрат \( 2 \times 2\), верхнюю полоску \( 2 \times 5k\) разрезать на горизонтальные полоски из пяти клеток, а прямоугольник \( 5k \times (5k+2) \) разрезать на вертикальные полоски из пяти клеток.

Таким образом задача имеет решение при всех \(n\), дающих остаток \(2\) при делении на \(5\).

Ответ: \(n=5k+2,\) где \(k\) \(-\) натуральное число.