Решить уравнение: \begin{equation*} xy' - y = x\cdot \mathop{\mathrm{tg}}{\frac{y}{x}}\end{equation*}

Решение

Разделим обе части на x:
\begin{equation*}
xy' - y = x \cdot \mathop{\mathrm{tg}}{\frac{y}{x}} \quad |:x
\end{equation*}
\begin{equation*}
y' - \frac{y}{x} = \mathop{\mathrm{tg}}{\frac{y}{x}}
\end{equation*}
Воспользуемся заменой:
\begin{equation*}
t = \frac{y}{x}
\end{equation*}
Тогда:
\begin{equation*}
\mathrm{d}y = t\mathrm{d}x + x\mathrm{d}t
\end{equation*}
Распишем производную и подставим:
\begin{equation*}
y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{t\mathrm{d}x + x\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
t\mathrm{d}x + x\mathrm{d}t = (t+\mathop{\mathrm{tg}}{t})\mathrm{d}x
\end{equation*}
\begin{equation*}
x\mathrm{d}t=\mathop{\mathrm{tg}}{t}\mathrm{d}x
\end{equation*}
Разделим крест накрест и возьмем интеграл от обоих частей:
\begin{equation*}
\int \frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathrm{tg}}{t}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}
\end{equation*}
Раскрыв тангенс получим:
\begin{equation*}
\int \frac{\mathrm{d}\sin{t}}{\sin{t}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\ln{\sin{t}} = \ln{x} + C
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sin{t} = Cx
\end{equation*}
Подставим t:
\begin{equation*}
\sin{\frac{y}{x}} = Cx
\end{equation*}

Ответ: \begin{equation*} \sin{\frac{y}{x}} = Cx \end{equation*}.