На ребре \(AC\) основания треугольной пирамиды \(ABCD\) расположена точка \(M\) так, что \(AM:MC = 1:2\). Через середину ребра \(BC\) основания пирамиды проведена плоскость \(P\), проходящая через точку \(M\) и параллельная боковому ребру \(CD\). В каком отношении плоскость \(P\) делит объем пирамиды?

Решение

Построим \(\href{https://examp.info/onedef/sechenie/}{\text{сечение}}\). Поскольку секущая плоскость параллельна ребру \(CD\), она пересечет плоскость \(ACD\) по прямой \(MP\), параллельной \(CD\), а плоскость \(BCD\) \(-\) по прямой \(ND\), также параллельной \(CD\) (см. \(\href{https://examp.info/theorem/o-peresechenii-ploskostey/}{\text{утверждение}}\))Соединим точки \(P\) и \(Q\), лежащие в одной плоскости, и точки \(M\) и \(N\), лежащие в одной плоскости, получим \(MPQN\) \(-\) искомое сечение.
Пусть \(V\) \(-\) объём пирамиды, \(V_1\) \(-\) сумма объёмов пирамид \(PABNM\) и \(PQBN\) и \(V_2 = V - V_1.\)
Из подобия треугольников \(ACD\) и \(AMP\) и из условия задачи получим, что
\(AM = x, MC = 2x, AP = y, PD = 2y.\)
Отсюда следует, что \(H_P = \dfrac{y}{3y}\cdot H_D = \dfrac{1}{3}H_D,\) где \(H_P\) \(-\) высота, опущенная из вершины \(P\) пирамиды \(PABNM\), \(H_D\) \(-\) высота, опущенная из вершины \(D\) пирамиды \(ABCD.\) Также \(\tilde{H}_P = \dfrac{2y}{3y}\cdot H_A = \dfrac{2}{3}H_A,\) где \(\tilde{H}_P\) \(-\) высота, опущенная из вершины \(P\) пирамиды \(PQBN\), \(H_A\) \(-\) высота, опущенная из вершины \(A\) пирамиды \(ABCD\).
Аналогично из подобия треугольников \(BCD\) и \(BNQ\) и из условия задачи получим, что
\(CN = NB = u, BQ = QD = z.\)

Из этих соотношений получим, что площадь основания пирамиды \(PABNM\) равна \(S_{ABNM} = S_{ABC} - S_{MNC} = S_{ABC} - \dfrac{2x}{3x}\cdot\dfrac{u}{2u}\cdot S_{ABC} = \dfrac{2}{3}S_{ABC}.\)
\(\href{https://examp.info/theorem/ob-obeme-piramidy/}{\text{Тем самым}}\)
\[
V_{PABNM} = \dfrac{1}{3}H_P \cdot S_{ABNM} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}H_D \cdot \dfrac{2}{3}S_{ABC} = \dfrac{2}{9}V.
\]
Аналогично площадь основания пирамиды \(PQBN\) равна \(S_{BNQ} = \dfrac{u}{2u}\cdot\dfrac{z}{2z}\cdot S_{BCD} = \dfrac{1}{4} S_{BCD}.\) Таким образом, находим
\[
V_{PQBN} = \dfrac{1}{3} \tilde{H}_P \cdot S_{QBN} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}H_A \cdot \dfrac{1}{4} S_{DBC} = \dfrac{1}{6}V.
\]
Теперь можно записать, что
\[
V_1 = V_{PABNM} + V_{PQBN} = \dfrac{2}{9}V + \dfrac{1}{6}V = \dfrac{7}{18}V,
\]\[
V_2 = V - V_1 = \dfrac{11}{18}V.
\]
Таким образом, \(V_1 : V_2 = 7 : 11.\)

Ответ: \(V_1 : V_2 = 7:11\).