Найдите наименьшее значение функции
\( f(x)= \sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-18x+45}\).

Решение

Область определения функции \( f(x)\) определяется системой неравенств
\(\left\{\begin{array}{l}
x^2-18x+45\geqslant0, \\
2x^2+2x+1\geqslant0.
\end{array}\right.\)
Следовательно, функция \(f(x)\) определена при \(x\in(-\infty;3]\cup[15;+\infty)\).

Производная функции равна
\(f'(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{2x^2+2x+1}}+\dfrac{2x-18}{\sqrt{x^2-18x+45}}\).
Итак, функция \(f(x)\) возрастает на множестве\(x\in[15;+\infty)\) и убывает на множестве \(x\in(-\infty;3]\).
Таким образом наименьшее значение функции достигается в одной из точек \(x=3\) или \(x=15\).
Поскольку \(f(3)=5<f(15)=\sqrt{481}\), то наименьшее значение равно \(5\).

Ответ: \(5\).