Найти предел:

\(
\lim_{x\to0} (e^{2x} + x)^{\frac{1}{x}}.
\)

Решение

\(
\displaylines{
\lim_{x\to0} (e^{2x} + x)^{\frac{1}{x}}
= \lim_{x\to0} e^{\ln (e^{2x} + x)^{\frac{1}{x}}} =\\
= \lim_{x\to0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{2x}+x) }
= e^{\lim_{x\to0} \frac{\ln (e^{2x} + x)}{x} } = e^3}
\)

Ответ: \( e^3 \).