Из \(100\) членов Совета Двух Племён часть \(-\) эльфы, остальные \(-\) гномы. Каждый написал два числа: количество эльфов в Совете и количество гномов в Совете. При этом своих соплеменников каждый посчитал верно, а при подсчёте иноплеменников ошибся ровно на \(2\). В написанных числах одна цифра встретилась не менее \(222\) раз.

Сколько эльфов и сколько гномов могло быть в Совете? Если вариантов несколько \(-\) укажите один из них.

Решение

\(\textbf{Комментарий}.\) От участников требовалось найти лишь один пример. Покажем, как найти их все.

Пусть по крайней мере \(222\) раза написана цифра \(A\). Кто-то написал \(A\) хотя бы три раза (иначе цифр \(A\) в ответах будет не больше, чем \(100 \cdot 2 < 222\)). Назовём этого члена Совета Магистром. Числа Магистра в сумме дают либо \(102\), либо \(98\). Несложно убедиться, что случаи, когда одно из этих чисел \(-\) \(100\) или \(101\), не подходят. Значит, можно считать оба написанных Магистром числа двузначными (если одно из них однозначное, напишем на месте десятков ноль).

Итак, одно из чисел Магистра \(-\) это \(AA\). Если второе начинается на цифру \(A\), то их сумма либо не больше \(44 + 49 < 98\), либо не меньше \(55 + 50 > 102\). Значит, Магистр написал \(AA\) и \(BA\). Поскольку сумма этих чисел оканчивается на \(2\) или на \(8\), то \(A\) может быть равна \(1\), \(6\), \(4\) или \(9\). Возможны следующие \(4\) случая:

\(1\). Если \(AA = 11\), то \(BA = 102 - 11 = 91\);

\(2\). Если \(AA = 66\), то \(BA = 102 - 66 = 36\);

\(3\). Если \(AA = 44\), то \(BA = 98 - 44 = 54\);

\(4\). Если \(AA = 99\), то \(BA = 98 - 99 < 0\) \(-\) не подходит.

При \(AA = 11\), \(BA = 91\) на самом деле гномов и эльфов (в каком-то порядке) либо \(11\) и \(89\), либо \(9\) и \(91\). В первом случае \(1\) названа не более, чем трижды каждым из \(11\) человек и максимум по разу каждым из \(89\), то есть всего менее \(200\) раз. Во втором случае \(1\) может быть названа трижды каждым из \(91\) человека и ни разу каждым из \(9\), то есть всего максимум \(91 \cdot 3 = 273\) раза. Этот случай подходит и он даёт два варианта: \(9\) эльфов и \(91\) гном, \(9\) гномов и \(91\) эльф.

Аналогичные рассуждения показывают, что в случае \(2\) в совете могло быть \(66\) эльфов, \(34\) гнома (или наоборот \(-\) \(66\) гномов, \(34\) эльфа), а случай \(3\) не подходит.

Ответ: Возможные варианты: \(66\) эльфов, \(34\) гнома (или наоборот \(-\) \(66\) гномов, \(34\) эльфа); \(9\) эльфов, \(91\) гном (или наоборот \(-\) \(9\) гномов, \(91\) эльф).