На поверхности куба \(A B C D A' B' C' D' \) построена замкнутая линия, каждая точка \(X\) которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности куба между точками \(X\) и \(A\) равна длине кратчайшего пути по поверхности куба между \(X\) и \(C'\). Найдите длину этой линии, если длина ребра куба равна 1.

Решение

Из соображений симметрии ясно, что ребрами \(A'В'\), \(B'B\), \(BC\), \(CD\), \(DD'\), \(D'A'\) и отрезками \(AВ'\), \(AC\), \(AD'\), \(C'B\), \(C'A'\), \(C'D\) линия, о которой идет речь в условии задачи, разбивается на 12 равных частей. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику \(ABC\).

Пусть \(P\) \(-\) одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между \(P\) и \(A\) служит отрезок \(PA\), а кратчайшим путем между \(P\) и \(C'\) \(-\) двухзвенная ломаная \(PKC'\), вершина \(K\) которой принадлежит ребру \(BC\) (в случае \(P \in BC\) имеем просто отрезок \(PC'\)). На ребрах куба объединение граней \(ABCD\) и \(BB'CC'\) представляет собой прямоугольник \(AB'C'D\), а ломаная \(PKC'\) \(-\) отрезок \(PC'\) в нем.

Условие \(PA = PC'\) означает, что \(P\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AC'\); этот перпендикуляр пересекается с треугольником \(ABC\) по отрезку \(MN\), где \(M\) середина ребра \(BC\), а \(N\) \(-\) точка на отрезке \(AC\), \(\angle AMN =90^\circ \). Найдем длину отрезка \(MN.\)

Из равенств \(\mathop{\mathrm{tg}} \angle BAM = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{1}{2}\), \(\angle MAN = 45^\circ − \angle BAM\), и формулы тангенса разности углов получаем \(\mathop{\mathrm{tg}} \angle MAN = \dfrac{BM}{AB}= \dfrac{1}{3}\), откуда \(MN= \frac{1}{3}AM= \frac{1}{3} \sqrt{AB^2+BM^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{6}\).

Умножив это число на \(12\), получим ответ к задаче.

Ответ: \(2 \sqrt{5}\).