Найти экстремум функции и построить её график: \(y = \large \frac{x^2}{x-2}.\)

Решение

\(\displaylines{
1) \text{Область определения функции = } (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\\
2) x = 0 \Rightarrow y = 0\\
3) x=1 \Rightarrow y=-1\\
x=-1 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}\\
\text{Общего вида, непериодичная}\\
4) y' = \Bigr( \frac{x^2}{x-2} \Bigl)' =
\frac{2x(x-2)-x^2(x-2)′ }{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2}\\
\frac{x^2-4x}{(x-2)^2} = 0 \\
\frac{x(x-4)}{(x-2)^2} = 0 \\
x=0 \quad y = 0; \quad x = 4 \quad y = 8\\
f'(x) < 0 \text{ (функция убывает) при } x \in (0;2) \cup (2; 4)\\
f'(x) > 0 \text{ (функция возрастает) при } x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\\
x = 0, y_{max} = 0; x = 4, y_{min} = 8 \\
5) \text{Асимптоты:}\\
\text{Горизонтальных нет:}\\
\lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x-2} = \infty\\
\text{Вертикальные:}\\
\lim_{x\to2+} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{0} = +\infty\\
\lim_{x\to2-} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{-0} = -\infty\\
\text{Наклонные:}\\
k = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{(x-2)x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x}{x-2}=1\\
b = \lim_{x\to\infty} \Bigr[\frac{x^2}{x-2}-x\Bigl] = \lim_{x\to\infty} \Bigr( \frac{2x}{x-2} \Bigl) = 2\\
a = x+2
}\)

Ответ: Экстремумы: \( x = 0, y_{max} = 0; x = 4, y_{min} = 8 \).