Найти предел:

\(
\lim_{x\to0} \Bigr( \frac{1}{x\sin{x}} - \frac{1}{x^2} \Bigl).
\)

Решение

\(\displaylines{
\lim_{x\to0} \Bigr( \frac{1}{x\sin{x}} - \frac{1}{x^2} \Bigl) =
= \lim_{x\to0} \Bigr(\frac{x-\sin{x}}{x^2 \sin{x}} \Bigl)
= \lim_{x\to0} \Bigr( \frac{1-\cos{x}}{2x\sin{x} + x^2\cos{x}} \Bigl) =\\
= \lim_{x\to0} \Bigr(\frac{\sin{x}}{2\sin{x}+2x\cos{x} + 2x\cos{x} - x^2\sin{x}} \Bigl)
= \lim_{x\to0} \Bigr( \frac{\cos{x}}{6\cos{x}-6x\sin{x} - x^2\cos{x}}\Bigl)
= \large \frac{1}{6}
}\)

Ответ: \(\large \frac{1}{6}\).