Найдите все значения параметра a, при которых система
\begin{equation*}
\begin{cases}
(ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0, \\
(\log_{a} x^2 +\log_{a} y^2 -2) \log_{2} a^2 = 8\\
\end{cases}
\end{equation*}
имеет ровно шесть различных решений.

Решение

Из определения логарифма получаем ограничения на параметр \(a\) : \(a\neq 1\) и \(a>0.\) Также сразу можем определить область допустимых значений системы: \(x\neq 0, y\neq 0\). Теперь рассмотрим каждое уравнение системы подробнее при \(a\neq 1, a>0, x\neq 0\) и \(y\neq 0.\) \begin{gather*}
(ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0\\
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
y=x-\frac{2}{a},\\
y=\begin{cases}
x-2a, & x\geqslant a,\\
\frac{1}{2}(-x-a), & x<a.
\end{cases}
\end{array}\right.
\end{gather*}
\begin{gather*}
(\log_ax^2+\log_ay^2-2)\log_2a^2=8\Leftrightarrow\\
(2\log_a|x|+2\log_a|y|-2)2\log_2 a=8\Leftrightarrow\\
(\log_a|x|+\log_a|y|-1)\log_2 a=2\Leftrightarrow\\
(\log_a|x|+\log_a|y|-1)=\frac{2}{\log_2 a}\Leftrightarrow\\
\log_a|x|+\log_a|y|-1=2\log_a 2\Leftrightarrow\\
a^{\log_a|x|+\log_a|y|}=a^{1+2\log_a 2}\Leftrightarrow\\
|xy|=4a.
\end{gather*}Получаем систему \begin{gather*}
\left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
y=x-\frac{2}{a},\\
y=\begin{cases}
x-2a, & x\geqslant a,\\
\frac{1}{2}(-x-a), & x<a.
\end{cases}
\end{array}\right.\\
|xy|=4a,\\
a\neq 1, a>0.
\end{array}\right.
\end{gather*}
Условия \(x\neq 0, y\neq 0\) заключаются в уравнении \(|xy|=4a\) и условии \(a>0.\)
Разберемся, сколько решений будет иметь система в каждой из координатных четвертей. Отметим, что точка пересечения прямых \(y=x-2a\) и \(y=\frac{1}{2}(-x-a)\) лежит в четвертой четверти при \(a>0\) (это точка \((a,-a)\)).
\(\textbf{1 четверть}\)
Заметим, что при \(a\neq 1\) прямые \(y=x-\frac{2}{a}\) и \(y=x-2a\) не совпадают. Тогда в первой четверти у нас всегда будет ровно два решения: точка пересечения графиков \(y=\frac{4a}{x}\) и \(y=x-2a,\) \(y=\frac{4a}{x}\) и \(y=x-\frac{2}{a}.\)
\(\textbf{2 четверть}\)
При всех допустимых значениях параметра \(a\) будет существовать единственное решение: пересечение графиков \(y=-\frac{4a}{x}\) и \(y=\frac{1}{2}(-x-a).\)
\(\textbf{3 четверть}\)
При всех допустимых значениях параметра \(a\) будет существовать решение: пересечение графиков \(y=\frac{4a}{x}\) и \(y=x-\frac{2}{a}.\) Еще один претендент на решение - пересечение графиков \(y=\frac{4a}{x}\) и \(y=\frac{1}{2}(-x-a).\) \begin{gather*}
\frac{4a}{x}=\frac{1}{2}(-x-a),\\
8a=-x^2-ax,\\
x^2+ax+8a=0,\\
D=a^2-32a=a(a-32).
\end{gather*} Если \(a<32,\) то решений нет. Если \(a=32,\) то решение единственное. Если \(a>32,\) то два решения.
\(\textbf{4 четверть}\)
У нас есть два претендента на решения. Первый: пересечения графиков \(y=-\frac{4a}{x}\) и \(y=x-\frac{2}{a}.\) Найдем их. \begin{gather*}
-4a=x^2-x\frac{2}{a},\\
ax^2-2x+4a^2=0,\\
D/4=1-4a^3.
\end{gather*} Если \(a>\frac{1}{\sqrt[3] 4},\) то решений нет. Если \(a=\frac{1}{4^{1/3}},\)то \(x=\frac{1}{\sqrt[3] 4}\) - единственное решение. Если \(0<a<\frac{1}{4^{1/3}},\) то два решения \(x_1=\frac{1+\sqrt{D/4}}{a}>0\) и \(x_2=\frac{1-\sqrt{D/4}}{a}>0,\) т.е. две точки пересечения графиков в 4 четверти: \((x_1; -\frac{4a}{x_1}),\) \((x_2; -\frac{4a}{x_2}).\)
Второй: точки пересечения графиков \begin{gather*}
y=\begin{cases}
x-2a, & x\geqslant a,\\
\frac{1}{2}(-x-a), & x<a,
\end{cases}
\end{gather*} и \(y=-\frac{4a}{x}.\) Найдем точки пресечения \(y=-\frac{4a}{x}\) и \(y=x-2a.\) \begin{gather*}
-4a=x^2-2ax,\\
x^2-2ax+4a=0,
D/4=a^2-4a=a(a-4).
\end{gather*} Если \(a\in (0;4),\) то решений нет. Если \(a=4,\) то единственное решение \(x=a=4.\) Если \(a>4,\) то два решения \(x_1=a+\sqrt{D/4}\) и \(x_2=a-\sqrt{D/4},\) причем второе решение нас не устраивает, т.к. \(x_2<a.\) Найдем точки пресечения \(y=-\frac{4a}{x}\) и \(y=\frac{1}{2}(-x-a).\) \begin{gather*}
-8a=-x^2-ax,\\
x^2+ax-8a=0,\\
D=a^2+32a>0.
\end{gather*} Если \(a>0,\) то существует два решения \(x_1=\frac{-a+\sqrt{D}}{2}\) и \(x_2=\frac{-a-\sqrt{D}}{2}.\) Нас интересуют только решения \(0<x<a.\) Второе решение не удовлетворяет данному условию, а первое решение подойдет, только если: \begin{gather*}
0<\frac{-a+\sqrt{D}}{2}<a,\\
-a+\sqrt{D}<2a,\\
\sqrt{D}<3a,\\
a^2+32a<9a^2,\\
32a<8a^2,\\
4<a.
\end{gather*}
Получаем следующую зависимость от \(a\) количества точек пересечений графиков \begin{gather*}
y=\begin{cases}
x-2a, & x\geqslant a,\\
\frac{1}{2}(-x-a), & x<a,
\end{cases}
\end{gather*} и \(y=-\frac{4a}{x}.\) Если \(0<a<4\), то нет решений. При \(a=4\) решение единственно. Это и будет точка "излома" функции, заданной кусочно, \(-\) точка \((a, -a)\). При \(a>4\ -\) два решения.
Подведем итог (число решений в каждой четверти в зависимости от значений параметра):
\begin{gather*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& a\in(0;1/\sqrt[3] 4) & a=1/\sqrt[3] 4 & a\in (1/\sqrt[3] 4;1)\cup(1;4) & a=4 & a\in (4;32) & a=32 & a>32 \\
\hline
\text{1 четверть}& 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2\\
\text{2 четверть}& 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\text{3 четверть}& 1+0 & 1+0 & 1+0 & 1+0 & 1+0 & 1+1 & 1+2 \\
\text{4 четверть}& 2+0 & 1+0 & 0+0 & 0+1 & 0+2 & 0+2 & 0+2 \\
\hline
Всего:& 6 & 5 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
\end{array}
\end{gather*}

Ответ: \(a \in (0; \frac{1}{\sqrt[3] 4}) \cup (4;32)\).