На отрезке \([2;5]\) выбрали три разные точки, для каждой точки перемножили расстояния до двух других точек, получили положительные числа \(a, b, c\). Докажите, что \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{8}{9}.\)

Решение

Переместим отрезок в точку 0, то есть будем рассматривать отрезок [0; 3]. Обозначим взятые точки \(0 \leqslant x < y < z \leqslant 3 \,(\ast)\). Тогда

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{(y-x)(z-x)} + \frac{1}{(y-x)(z-y)} + \frac{1}{(z-x)(z-y)}
\]

Тогда

\[
\frac{1}{(y-x)(z-x)} + \frac{1}{(y-x)(z-y)} + \frac{1}{(z-x)(z-y)} \geqslant \frac{1}{y \cdot 3} + \frac{1}{y(3-y)} + \frac{1}{(3-y) \cdot 3},\]

мы использовали неравенства \(x \leqslant 0, z \leqslant 3\).

При замене \(-x\) на 0, а \(z\) на 3 все знаменатели увеличились, а обратные им величины уменьшились:

\[
\frac{1}{3y} + \frac{1}{y(3-y)} + \frac{1}{(3-y)3} = \frac{3-y+3+y}{3y(3-y)} = \frac{2}{y(3-y)}
\]

Неравенство \(\frac{2}{y(3-y)} \geqslant \frac{8}{9}\) переписывается следующим образом: \[
\frac{2}{y(3-y)} \geqslant \frac{8}{9} \Leftrightarrow 9 \geqslant 4y(3-y) \Leftrightarrow 4y^2 - 12y +9 \geqslant 0 \Leftrightarrow (2y-3)^2 \geqslant 0,\] преобразования законны, поскольку \(0 < y <3
\,(\ast)\), поэтому исходное неравенство верно.