Вася написал на доске три числа: \(\sin x, \sin 2x, \sin 3x\) в каком-то порядке. Все числа оказались различными. Петя пытается определить, какое из чисел где. Какое из трёх утверждений верно:

(1) У Пети всегда получится определить, где \(\sin x\), где \(\sin 2x\), а где \(\sin 3x\).
(2) При некоторых значениях получится, а при некоторых нет.
(3) Никогда не получится.

Решение

Для доказательства нам достаточно привести пример ситуации, в которой у Пети получится различить три данных числа, и пример ситуации, в которой не получится это сделать.
Первое проще: подойдёт практически любое значение \(x\). Например, если \(x_0 = \dfrac{\pi}{17}, 2x_0=\dfrac{2\pi}{17}, 3x_0 = \dfrac{3\pi}{17}\) и их синусы различны и положительны.
Пусть найдётся \(x\) для которого эти три синуса получаются такими же, но в другом порядке. Разберём все возможные \(x\), такие что \(\sin x\) совпадает с одним из написанных на доске чисел.

1) \(x=\dfrac{\pi}{17} + 2\pi k.\) Синусы получаются такие же, как и для \(x_0\) в том же порядке.
2) \(x=\dfrac{16\pi}{17}+2\pi k.\) В этом случае \(\sin x\) и \(\sin 3x\) получаются такие же, как и для \(x_0\) в том же порядке, а \(\sin 2x\) меняет знак, т.е. получается другой набор чисел.
3) \(x=\dfrac{2\pi}{17} + 2\pi k.\) В этом случае \(\sin x = \sin2x_0\). Однако \(\sin 2x=\sin\left(\dfrac{4\pi}{17}\right)\), что не совпадает ни с \(\sin x_0\), ни с \(\sin 3x_0\), так как больше каждого из них.
4) \(x=\dfrac{15\pi}{17}+2\pi k.\) В этом случае \(\sin x = \sin2x_0\). Однако \(\sin 2x=\sin\left(\dfrac{30\pi}{17}\right)\), что не совпадает ни с \(\sin x_0\), ни с \(\sin 3x_0\), так как отрицательно.
5) \(x=\dfrac{3\pi}{17} + 2\pi k.\) В этом случае \(\sin x=\sin3x_0\). Однако \(\sin2x=\sin\left(\dfrac{6\pi}{17}\right)\), что не совпадает ни с \(\sin x_0 ,\) ни с \(\sin2x_0\), так как больше каждого из них.
6) \(x=\dfrac{14\pi}{17} + 2\pi k.\) В этом случае \(\sin x=\sin3x_0\). Однако \(\sin2x=\sin\left(\dfrac{28\pi}{17}\right)\), что не совпадает ни с \(\sin x_0 ,\) ни с \(\sin2x_0\), так как отрицательно.
Таким образом, единственная возможность получить те же \(3\) синуса, это случай \(1)\), в котором порядок синусов также совпадает.
Теперь приведём противоположный пример. Рассмотрим \(x_1 =\dfrac{\pi}{2}\). Тогда \(\sin x_1 = 1, \sin 2x_1 = 0, \sin 3x_1 = -1.\) С другой стороны, пусть \(x_2 = -\dfrac{\pi}{2}\). Тогда \(\sin x_1 = -1, \sin 2x_1 = 0, \sin 3x_1 = 1.\) Таким образом, Петя не сможет отличить эти две ситуации друг от друга.

Ответ: при некоторых значениях получится, а при некоторых нет.