Периметр треугольника \(ABC\) равен \(1\). Окружность \(\omega\) касается стороны \(BC\), продолжения стороны \(AB\) в точке \(P\) и продолжения стороны \(AC\) в точке \(Q\). Прямая, проходящая через середины сторон \(AB\) и \(AC\), пересекает описанную окружность треугольника \(APQ\) в точках \(X\) и \(Y\) . Найдите длину отрезка \(XY\).

Решение

Отметим, что \(\omega\) \(-\) вневписанная окружность треугольника \(ABC\). Пусть \(J\) \(-\) её центр. Описанная окружность \(\Omega\) треугольника \(APQ\) \(-\) это окружность с диаметром \(AJ\). Пусть \(O\) \(-\) её центр. \(\href{https://examp.info/onedef/gomotetiya/}{\text{Гомотетия}}\) с центром в точке \(A\) и коэффициентом \(0{,}5\) переводит \(\omega\) в окружность с центром \(O\), касающуюся хорд \(AP\), \(AQ\) и \(XY\). Значит, эти хорды равноудалены от центра \(\Omega\), то есть имеют равные длины. Но, как известно, длина \(AP\) равна половине периметра треугольника \(ABC\), то есть \(0{,}5\).

Ответ: \(0{,}5\).