Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета.
Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал \(-\) его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета.
Джо пришёл в казино со \(100\) долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше \(17\) долларов.
Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести из казино после такой игры?

Решение

Главное наблюдение в этой задаче такое: как только игрок один раз угадает, как упадёт монетка \(-\) все оставшиеся игры он может не угадать. Поэтому все ставки после победы должны быть по \(1\) доллару. Для начала покажем, что уйти, потеряв \(1\) доллар или меньше, игроку не удастся. Посмотрим, что для этого ему пришлось бы делать.

\(1\). В первый раз игроку придётся поставить не менее \(3\) долларов, потому что он мог выиграть эту игру и проиграть \(4\) следующие.

\(2\). Если бы он проиграл в первой игре, то во второй ему бы пришлось поставить не менее \(5\) долларов: ведь он может выиграть только эту партию, а проиграть минимум \(3\) доллара на предыдущей и ещё минимум \(3\) на следующих трёх.

\(3\). Если он проиграл и вторую игру, то на третьей его ставка должна быть уже минимум \(9\) долларов: если выиграет, то ему надо компенсировать минимум \(10\) долларов от поражений (\(3\) за первую игру, \(5\) за вторую, по \(1\) за четвёртую и пятую).

\(4\). Если он проиграл и третью игру, то на четвёртой ему придётся поставить уже минимум \(17\) долларов: выигрыш должен компенсировать минимум \( 3 + 5 + 9 + 1 = 18 \) долларов от поражений.

\(5\). Если он проиграл и четвёртую игру, то он уже проиграл минимум \(3 + 5 + 9 + 17 = 34 \) доллара и даже максимальной ставкой в \(17\) долларов он не сможет компенсировать себе убыток.

Теперь докажем, что игрок может ставить так, чтобы уйти, потеряв всего \(2\) доллара. Аналогично рассуждениям выше, понимаем, что пока игрок проигрывает, он должен ставить \(2\), затем \(3\), \(5\), \(9\) и \(17\) долларов, а как только выиграет \(-\) все следующие партии ставить по \(1\) доллару. Несложно проверить, что в каждой ситуации игрок потеряет не более \(2\) долларов.

\(\textbf{Комментарий}\). Заметим, что если разрешить игроку ставить \(\textit{не более 5 раз}\), то он может «остаться в плюсе». Для этого ему достаточно ставить \(1\), \(2\), \(4\), \(8\) и \(16\) долларов и уходить после того, как он выиграл: тогда он точно выиграет \(1\) доллар. Доказательство того, что в этом случае нельзя выиграть больше, аналогично доказательству из решения.

Ответ: \(98\).